Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），以O(shè)A為邊作等邊三角形OAB，點(diǎn)B在第一象限，過點(diǎn)B作AB的垂線交x軸于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿著OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿著BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為1個(gè)單位/秒．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求線段BC的長；
（2）過點(diǎn)Q作x軸垂線，垂足為H，問t為何值時(shí)，以P、Q、H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；
（3）連接PQ交線段OB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)F．設(shè)線段EF的長為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC=90°，進(jìn)而得出CO=OB=AB=OA=3，以及AC=6，求出BC即可；
（2）需要分類討論：△PHQ∽△ABC和△QHP∽△ABC兩種情況；
（3）過點(diǎn)Q作QN∥OB交x軸于點(diǎn)N，得出△AQN為等邊三角形，由OE∥QN，得出△POE∽△PNQ，以及

OE

QN

=

PO

PN

，表示出OE的長，利用m=BE=OB-OE求出即可．

解答：（1）解：如圖l，∵△AOB為等邊三角形，
∴∠BAC=∠AOB=60．
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，∠OBC=30°
∴∠ACB=∠OBC，
∴CO=OB=AB=OA=3，
∴AC=6，
∴BC=

3

2

AC=3

3

；

（2）如圖2，過點(diǎn)Q作x軸垂線，垂足為H，則QH=AQ•sin60°=

3 (3-t)

2

．
需要分類討論：當(dāng)△PHQ∽△ABC時(shí)，

PH

AB

=

HQ

BC

，即=

3- 3-t 2 +t

3

=

3 (3-t) 2

3 3

，
解得，t=0．
同理，當(dāng)△QHP∽△ABC時(shí)，t=1．
綜上所述，t=0或t=1；

（3）解：如圖1，過點(diǎn)Q作QN∥OB交x軸于點(diǎn)N．
∴∠QNA=∠BOA=60°=∠QAN，
∴QN=QA
∴△AQN為等邊三角形，
∴NQ=NA=AQ=3-t，
∴ON=3-（3-t）=t，
∴PN=t+t=2t，
∴OE∥QN．
∴△POE∽△PNQ
∴

OE

QN

=

PO

PN

，
∴

OE

3-t

=

1

2

，
∴OE=

3

2

-

1

2

t
∵EF∥x軸，
∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30°
∴EF=BE，
∴m=BE=OB-OE=

1

2

t+

3

2

（0＜t＜3）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的綜合應(yīng)用以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出△FCP∽△BCA是解題關(guān)鍵．