Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為CB邊上一動點，CD=BC，連接AD，CE⊥AD于點E，延長線BE交AC于點F．

（1）若n=3，則=　 　，=　 　；

（2）若n=2，求證：AF=2FC；

（3）若F為AC的中點，請直接寫出n的值．

Answer 1

 

考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)． 

分析： （1）通過證明△CED∽△ACD，根據(jù)相似比即可求得CE：DE的長，同理可求得AE：DE的值．

（2）根據(jù)已知可求得△GED∽△AFE，根據(jù)相似比即可求得AF，F(xiàn)C的關(guān)系．

（3）要使AF=CF，必需n²=（n﹣1）：n．

解答： 解：（1）由題意得，∠DEC=∠DCA=90°，∠EDC=∠CDA，

∴△CED∽△ACD．

∴CE：DE=AC：CD．

∵AC=BC，

∴AC：CD=n=3．

∴CE：DE=3．

同理可得：AE：DE=9．

故答案為：3，9．

（2）如圖，當(dāng)n=2時，D為BC的中點，取BF的中點G，連接DG，

則DG=FC，DG∥FC．

∵CE⊥AD，∠ACB=90°，

∴∠ECD+∠EDC=∠CAD+∠ADC=90°．

∴∠ECD=∠CAD．

∵tan∠ECD=，tan∠CAD==，

∴==．

∵AC=BC，BC=2DC，

∴===．

∴=．

∵DG∥FA，

∴△GDE∽△FAE．

∴=．

∴DG=AF．

∵DG=FC，

∴AF=2FC．

（3）如圖，∵BC=nDC，

∴DC：BC=1：n，

∴DC：AC=1：n，

∴DE：CE：AE=1：n：n²；

∴DG：AF=1：n²；

又∵DG：CF=DB：BC=（BC﹣CD）：BC=（n﹣1）：n

要使AF=CF，必需n²=n：（n﹣1），（n＞0）

∴當(dāng)n=，F(xiàn)為AC的中點．

點評： 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形得出線段之間的比例關(guān)系，進而得出所求線段與n之間的關(guān)系．