如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為CB邊上一動點,CD=BC,連接AD,CE⊥AD于點E,延長線BE交AC于點F.
(1)若n=3,則= ,= ;
(2)若n=2,求證:AF=2FC;
(3)若F為AC的中點,請直接寫出n的值.
考點: 相似三角形的判定與性質(zhì).
分析: (1)通過證明△CED∽△ACD,根據(jù)相似比即可求得CE:DE的長,同理可求得AE:DE的值.
(2)根據(jù)已知可求得△GED∽△AFE,根據(jù)相似比即可求得AF,F(xiàn)C的關(guān)系.
(3)要使AF=CF,必需n2=(n﹣1):n.
解答: 解:(1)由題意得,∠DEC=∠DCA=90°,∠EDC=∠CDA,
∴△CED∽△ACD.
∴CE:DE=AC:CD.
∵AC=BC,
∴AC:CD=n=3.
∴CE:DE=3.
同理可得:AE:DE=9.
故答案為:3,9.
(2)如圖,當(dāng)n=2時,D為BC的中點,取BF的中點G,連接DG,
則DG=FC,DG∥FC.
∵CE⊥AD,∠ACB=90°,
∴∠ECD+∠EDC=∠CAD+∠ADC=90°.
∴∠ECD=∠CAD.
∵tan∠ECD=,tan∠CAD==,
∴==.
∵AC=BC,BC=2DC,
∴===.
∴=.
∵DG∥FA,
∴△GDE∽△FAE.
∴=.
∴DG=AF.
∵DG=FC,
∴AF=2FC.
(3)如圖,∵BC=nDC,
∴DC:BC=1:n,
∴DC:AC=1:n,
∴DE:CE:AE=1:n:n2;
∴DG:AF=1:n2;
又∵DG:CF=DB:BC=(BC﹣CD):BC=(n﹣1):n
要使AF=CF,必需n2=n:(n﹣1),(n>0)
∴當(dāng)n=,F(xiàn)為AC的中點.
點評: 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形得出線段之間的比例關(guān)系,進而得出所求線段與n之間的關(guān)系.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
對x,y定義一種新運算F,規(guī)定:(其中、均為非零常數(shù)),這里等式右邊是通常的四則運算,例如:.
(1)已知F(1,﹣1)=﹣2,F(xiàn)(4,2)=1.
①求,的值;
②若關(guān)于的不等式組有解,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若F(x,y)=F(y,x)對任意實數(shù)x,y都成立(這里F(x,y)和F(y,x)均有意義),則,應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式?直接寫出關(guān)系式,不用寫推理過程。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,等邊三角形OBC的邊長為10,點P沿O→B→C→O的方向運動,⊙P的半徑為.⊙P運動一圈與△OBC的邊相切 次,每次相切時,點P到等邊三角形頂點最近距離是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,函數(shù)y=2x和y=ax+4的圖象相交于點A(m,3),則不等式2x<ax+4的解集為( 。
A. x< B. x<3 C. x> D. x>3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
等邊三角形ABC的邊長為6,在AC,BC邊上各取一點E,F(xiàn),連接AF,BE相交于點P;
(1)如AE=CF=2,
①試判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系,并說明你的理由;
②試求AP•AF的值;
(2)若AF=BE,當(dāng)點E從A運動到點C時,請直接寫出點P經(jīng)過的路徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
下列語句正確的是 ( )
A.在所有聯(lián)結(jié)兩點的線中,直線最短
B.線段A曰是點A與點B的距離
C.三條直線兩兩相交,必定有三個交點
D.在同一平面內(nèi),兩條不重合的直線,不平行必相交
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
先閱讀下面的例題,再按要求解答:
例題:解不等式.
解:由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘,同號得正”,有
(1) 或(2)
解不等式組(1),得:.
解不等式組(2),得:.
故的解集為或.
問題:求分式不等式的解集.
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