Question

（2000•金華）如圖，在矩形ABCD中，M是BC上一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AM，E為垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的長是方程x²-（k-2）x+2k=0的兩個(gè)根，
（1）求k的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)M離開點(diǎn)B多少距離時(shí)，△AED的面積是△DEM面積的3倍？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，列出方程組解答；
（2）根據(jù)（1）中k的值解方程，求出AD和BC的長，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．
解答：解：（1）根據(jù)題意列方程組得：解得，
即3k²-37k+12=0，解得k=12或k=．

（2）把k=12或k=分別代入方程x²-（k-2）x+2k=0中，
當(dāng)k=12時(shí)原方程可化為x²-10x+24=0，
解得x=4或x=6，
∵3AB=2BC，∴AB=4，BC=6．
當(dāng)k=時(shí)原方程可化為x²+x+=0，解得x=-或x=-1（不合題意舍去）．
故AB=4，BC=6，
∵△AED的面積是△DEM的高相同，
∴△AED的面積是△DEM面積的3倍則AE=3ME，設(shè)
ME=x，則AE=3x，設(shè)BM=y．
在Rt△AED與Rt△MBA中，∵∠ABM=∠AED=90°，∠AMB=∠DAE，故兩三角形相似，
由勾股定理得AB²+BM²=16x²----①，解得BM=，
即=，即=----②，
整理得x⁴-4x²+4=0，解得x²=2，x=．
于是BM===4．
當(dāng)點(diǎn)M離開點(diǎn)B的距離為4時(shí)，△AED的面積是△DEM面積的3倍．
點(diǎn)評(píng)：此題將動(dòng)點(diǎn)問題與一元二次方程和矩形的性質(zhì)相結(jié)合，通過相似三角形和同高不等底的三角形的性質(zhì)，將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的性質(zhì)解答．