Question

7．已知拋物線y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+a（a≠0）的頂點(diǎn)為M，與y軸交于點(diǎn)A，直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-a分別與x軸，y軸相交于B，C兩點(diǎn)，并且與直線MA相交于N點(diǎn)．
（1）用a表示點(diǎn)A，M，N的坐標(biāo)．
（2）若將△ANC沿著y軸翻折，點(diǎn)N對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在拋物線上，AQ與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，連結(jié)CP，求a的值及△PQC的面積．
（3）當(dāng)a=4$\sqrt{3}$時(shí)，拋物線如圖2所示，設(shè)D為拋物線第二象限上一點(diǎn)，E為x軸上的點(diǎn)，且∠OED=120°，DE=8，F(xiàn)為OE的中點(diǎn)，連結(jié)DF，將直線BC沿著x軸向左平移，記平移的過(guò)程中的直線為B′C′，直線B′C′交x軸與點(diǎn)K，交DF于H點(diǎn)，當(dāng)△KEH為等腰三角形時(shí)，求平移后B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)K的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）用拋物線的頂點(diǎn)公式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)對(duì)折確定出a求出點(diǎn)A，C，N的坐標(biāo)，從而求出三角形的面積；
（3）求出直線BC解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-4$\sqrt{3}$，直線DF的解析式為y=-$\sqrt{3}$x-8$\sqrt{3}$，從而求出線段KE中點(diǎn)H橫坐標(biāo)為-3，建立方程求解．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+a=$\frac{\sqrt{3}}{9}$（x+6）²+a+4$\sqrt{3}$，
∴頂點(diǎn)M（-6，a+4$\sqrt{3}$）
令x=0，得：y=a，
∴A（0，a），
∴直線AM解析式為y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+a，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+a}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-a}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{3}}{3}a}\\{y=-\frac{1}{3}a}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a）
（2）由（1）知，Q（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a），
∴-$\frac{1}{3}$a=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$×（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a）²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a）+a，
∴a=9$\sqrt{3}$，或a=0（舍），
∴A（0，9$\sqrt{3}$），C（0，-9$\sqrt{3}$），N（-6，13$\sqrt{3}$），
∴x_Q=-18，x_P=-6，AC=18$\sqrt{3}$，
∴S_△PQC=S_△AQC-S_△APC=$\frac{1}{2}$AC×|x_Q|-$\frac{1}{2}$AC×|x_P|=$\frac{1}{2}$×18$\sqrt{3}$（18-6）=108$\sqrt{3}$．
（3）如圖，

當(dāng)a=4$\sqrt{3}$時(shí)，拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+4$\sqrt{3}$，
直線BC解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-4$\sqrt{3}$，
設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，0），（m＜12）
∴直線BC平移后的直線B'C'的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-m）①，
作DG⊥x軸，
∴∠DEG=60°，
∴DG=DEsin60=4$\sqrt{3}$，EG=DEcos60°=4，
∵y=4$\sqrt{3}$，
∴4$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+4$\sqrt{3}$，
∴x=-12，或x=0（舍）
∴D（-12，4$\sqrt{3}$），
∴OG=12，
∴OE=OG-EG=8，
∴E（-8，0），
∵F（-4，0），
∴直線DF的解析式為y=-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$②，
聯(lián)立①②得，x=$\frac{2}{5}$（m-6），y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4），
∴H（$\frac{2}{5}$（m-6），-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）），
∵E（-8，0），K（m，0），
∴EK²=（m+8）²，EH²=[（$\frac{2}{5}$（m-6）+8]²+[-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）]²，HK²=[$\frac{2}{5}$（m-6）-m]²+[-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）]²，
∵△KEH為等腰三角形，
①當(dāng)EH=KH時(shí)，∴EH²=KH²，
∴[（$\frac{2}{5}$（m-6）+8]²+[-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）]²=[$\frac{2}{5}$（m-6）-m]²+[-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）]²，
∴m=-8（舍）或m=16（舍）
②當(dāng)EH=EK時(shí)，∴EH²=EK²，
∴（m+8）²=[（$\frac{2}{5}$（m-6）+8]²+[-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）]²
∴m=-4（舍）或m=-$\frac{32}{3}$，
∴K（-$\frac{32}{3}$，0），
③當(dāng)KH=EK時(shí)，∴KH²=EK²，
（m+8）²=[$\frac{2}{5}$（m-6）-m]²+[-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）]²，
∴m=$\frac{-152+40\sqrt{3}}{13}$或m=$\frac{-152-40\sqrt{3}}{13}$
∴K（$\frac{-152+40\sqrt{3}}{13}$，0）或（$\frac{-152-40\sqrt{3}}{13}$，0）
∴滿足條件的K的坐標(biāo)為（-$\frac{32}{3}$，0）或（$\frac{-152+40\sqrt{3}}{13}$，0）或（$\frac{-152-40\sqrt{3}}{13}$，0）

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)的確定，銳角三角函數(shù)的意義，三角形面積的求法，解本題的關(guān)鍵是交點(diǎn)坐標(biāo)的確定．