Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，G分別在邊AB，對角線BD上，EG∥AD，F(xiàn)為GD的中點(diǎn)，連結(jié)FC，請利用勾股定理的逆定理，證明EF⊥FC.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析：作FH⊥AB于點(diǎn)H，延長HF交CD于點(diǎn)I，作FK⊥AD于點(diǎn)K，連接EC，則四邊形FIDK是正方形，四邊形AKFH是矩形，由EG∥AD，F(xiàn)為GD的中點(diǎn)，可得點(diǎn)H是AE的中點(diǎn)，進(jìn)而可得：HE=AH=FK=DK=DI=FI，HF=BH=IC=AK，然后由勾股定理分別表示EF2，F(xiàn)C2，EC2，最后根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△EFC是直角三角形，進(jìn)而可證EF⊥FC．

試題解析：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，F(xiàn)K⊥AD于點(diǎn)K，延長HF交CD于點(diǎn)I.由題意易得四邊形FIDK是正方形，四邊形AKFH是長方形，

∴AK=HF，KD=DI=FI=KF=AH.

∵AD=CD，∴IC=AK=HF.

∵AD∥FH∥EG，F(xiàn)是DG的中點(diǎn)，

∴易證得HA=HE，∴HE=FI.

在Rt△HEF和Rt△FIC中，由勾股定理，得

EF2=HE2＋HF2，F(xiàn)C2=FI2＋I(xiàn)C2，

∴EF2＋FC2=HE2＋HF2＋FI2＋I(xiàn)C2=2HE2＋2HF2.

在Rt△BCE中，由勾股定理，得

EC2=BE2＋BC2.

∵BE2=(AB－AE)2=(AD－2HE)2

=(HF＋FI－2HE)2=(HF＋HE－2HE)2

=(HF－HE)2=HF2－2HF·HE＋HE2，

BC2=(HF＋FI)2=(HF＋HE)2

=HF2＋2HF·HE＋HE2，

∴EC2=BE2＋BC2=HF2－2HF·HE＋HE2＋HF2＋2HF·HE＋HE2

=2HE2＋2HF2，

即EF2＋FC2=EC2，

∴△EFC是直角三角形，且∠EFC=90°，

∴EF⊥FC.