Question

7．如圖，正方形ABCD中，AC=2$\sqrt{2}$，對(duì)角線AC上點(diǎn)E，且AE=AD，連接BE，P為BE上的動(dòng)點(diǎn)（與B、E不重合），過(guò)P作PQ⊥AB，PH⊥AC分別AB、AC于點(diǎn)Q、H，則PQ+PH的值等于（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 連接AP，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，由正方形的性質(zhì)可以得知AB=BC，∠BAC=45°，結(jié)合已知和三角函數(shù)值可求得EF的長(zhǎng)度，由△ABE的面積=△ABP的面積+△AEP的面積，結(jié)合面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：連接AP，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，如圖所示．

∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠BAC=∠DAC=45°．
∵AC=$\frac{BC}{sin∠BAC}$=2$\sqrt{2}$，
∴AB=BC=2．
∵AE=AB，
∴AE=2，EF=AE•sin∠FAE=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
△ABE的面積S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EF=S_△ABP+S_△AEP=$\frac{1}{2}$AB•PQ+$\frac{1}{2}$AE•PH=$\frac{1}{2}$AB×（PQ+PH），
∴PQ+PH=EF=$\sqrt{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的面積公式以及特殊角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是：由△ABE的面積=△ABP的面積+△AEP的面積得出PQ+PH=EF．本題屬于中檔題，解題的技巧在于巧用面積公式．