精英家教網(wǎng)如圖,△ABC是等腰三角形,∠C=90°,O是△ABC內(nèi)一點,點O到△ABC各邊的距離等于1,將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△A1B1C1,兩三角形的公共部分為多邊形KLMNPQ.
①證明:△AKL,△BMN,△CPQ都是等腰直角三角形.
②求證:△ABC與△A1B1C1公共部分的面積.
分析:(1)連接OC、OC1,分別交PQ、NP于點D、E,根據(jù)題意證得OC是∠ACB的平分線,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可判斷出∴△CPQ和△C1NP都是等腰直角三角形,同理可證得△B1ML和△AKL也都是等腰直角三角形.
(2)將所求的面積分割,然后利用△ABC,△CPQ,△BMN,△AKL的面積,從而運用面積相減可得出答案.
解答:精英家教網(wǎng)證明:①連接OC、OC1,分別交PQ、NP于點D、E,根據(jù)題意得∠COC1=45°.
∵點O到AC和BC的距離都等于1,
∴OC是∠ACB的平分線.
∵∠ACB=90°∴∠OCE=∠OCQ=45°
同理∠OC1D=∠OC1N=45°
∴∠OEC=∠ODC1=90°
∴∠CQP=∠CPQ=∠C1PN=∠C1NP=45°
∴△CPQ和△C1NP都是等腰直角三角形.
∴∠BNM=∠C1NP=45°∠A1QK=∠CQP=45°,
∵∠B=45°∠A1=45°,
∴△BMN和△A1KQ都是等腰直角三角形.
∴∠B1ML=∠BMN=90°,∠AKL=∠A1KQ=90°
∴∠B1=45°∠A=45°
∴△B1ML和△AKL也都是等腰直角三角形.

②在Rt△ODC1和Rt△OEC中,
∵OD=OE=1,∠COC1=45°
∴OC=OC1=
2

∴CD=C1E=
2
-1
∴PQ=NP=2(
2
-1)=2
2
-2,CQ=CP=C1P=C1N=
2
2
-1)=2-
2

S△CPQ=
1
2
×(2-
2
)2=3-2
2

延長CO交AB于H
∵CO平分∠ACB,且AC=BC
∴CH⊥AB,
∴CH=CO+OH=
2
+1
∴AC=BC=A1C1=B1C1=
2
2
+1)=2+
2
,
S△ABC=
1
2
×(2+
2
)2=3+2
2

∵A1Q=BN=(2+
2
)-(2
2
-2)-(2-
2
)=2,
∴KQ=MN=
2
2
=
2
,
S△BMN=
1
2
×(
2
)2=1
,
∵AK=(2+
2
)-(2-
2
)-
2
=
2
,
S△AKL=
1
2
×(
2
)2=1
,
S多邊形KLMNPQ=S△ABC-S△CPQ-S△BMN-S△AKL
=(3+2
2
)-(3-2
2
)-1-1
=4
2
-2
點評:本題考查等腰直角三角形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),難度較大,關(guān)鍵是掌握基本知識,然后利用基本的性質(zhì)解題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜邊,點P是△ABC內(nèi)一定點,延長BP至P′,將△ABP繞點A旋轉(zhuǎn)后,與△ACP′重合,如果AP=
2
,那么PP′=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

22、如圖,△ABC是等腰三角形,AB=AC,D為直線BC上一點,DE⊥AC,DF⊥AB,CH⊥AB,
(1)如圖(1)若D為BC的中點,求證:DE+DF=CH.
(2)如圖(2)若D為BC延長線上一點,其他條件不變,線段DE.DF.CH 之間有何數(shù)量關(guān)系,請證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BC=AC,把△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△AB′C′,若AB=2,則線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分(陰影部分)的面積是
 
(結(jié)果保留π).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•資陽)如圖,△ABC是等腰三角形,點D是底邊BC上異于BC中點的一個點,∠ADE=∠DAC,DE=AC.運用這個圖(不添加輔助線)可以說明下列哪一個命題是假命題?( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,△ABC是等腰直角三角形,D為斜邊AB上任意一點(不與A,B重合),連接CD,作EC⊥DC,且EC=DC,連接AE.
(1)求證:∠E+∠ADC=180°.
(2)猜想:當(dāng)點D在何位置時,四邊形AECD是正方形?說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案