Question

如圖，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)O到△ABC各邊的距離等于1，將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△A₁B₁C₁，兩三角形的公共部分為多邊形KLMNPQ．
①證明：△AKL，△BMN，△CPQ都是等腰直角三角形．
②求證：△ABC與△A₁B₁C₁公共部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OC、OC₁，分別交PQ、NP于點(diǎn)D、E，根據(jù)題意證得OC是∠ACB的平分線，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可判斷出∴△CPQ和△C₁NP都是等腰直角三角形，同理可證得△B₁ML和△AKL也都是等腰直角三角形．
（2）將所求的面積分割，然后利用△ABC，△CPQ，△BMN，△AKL的面積，從而運(yùn)用面積相減可得出答案．

解答：證明：①連接OC、OC₁，分別交PQ、NP于點(diǎn)D、E，根據(jù)題意得∠COC₁=45°．
∵點(diǎn)O到AC和BC的距離都等于1，
∴OC是∠ACB的平分線．
∵∠ACB=90°∴∠OCE=∠OCQ=45°
同理∠OC₁D=∠OC₁N=45°
∴∠OEC=∠ODC₁=90°
∴∠CQP=∠CPQ=∠C₁PN=∠C₁NP=45°
∴△CPQ和△C₁NP都是等腰直角三角形．
∴∠BNM=∠C₁NP=45°∠A₁QK=∠CQP=45°，
∵∠B=45°∠A₁=45°，
∴△BMN和△A₁KQ都是等腰直角三角形．
∴∠B₁ML=∠BMN=90°，∠AKL=∠A₁KQ=90°
∴∠B₁=45°∠A=45°
∴△B₁ML和△AKL也都是等腰直角三角形．

②在Rt△ODC₁和Rt△OEC中，
∵OD=OE=1，∠COC₁=45°
∴OC=OC₁=

2

∴CD=C₁E=

2

-1
∴PQ=NP=2（

2

-1）=2

2

-2，CQ=CP=C₁P=C₁N=

2

（

2

-1）=2-

2

∴S△CPQ=

1

2

×(2-

2

)2=3-2

2

延長(zhǎng)CO交AB于H
∵CO平分∠ACB，且AC=BC
∴CH⊥AB，
∴CH=CO+OH=

2

+1
∴AC=BC=A₁C₁=B₁C₁=

2

（

2

+1）=2+

2

，
∴S△ABC=

1

2

×(2+

2

)2=3+2

2

，
∵A₁Q=BN=（2+

2

）-（2

2

-2）-（2-

2

）=2，
∴KQ=MN=

2

2

=

2

，
∴S△BMN=

1

2

×(

2

)2=1，
∵AK=（2+

2

）-（2-

2

）-

2

=

2

，
∴S△AKL=

1

2

×(

2

)2=1，

∴S多邊形KLMNPQ=S△ABC-S△CPQ-S△BMN-S△AKL =(3+2 2 )-(3-2 2 )-1-1 =4 2 -2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等腰直角三角形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是掌握基本知識(shí)，然后利用基本的性質(zhì)解題．