Question

12．如圖，⊙C經(jīng)過原點且與兩坐標(biāo)分別交于點A與點B，點A的坐標(biāo)為（0，6），點M是圓上弧BO的中點，且∠BMO=120°．                  
（1）求弧BO的度數(shù)；
（2）求⊙C的半徑；
（3）求弓形AO的面積．

Answer 1

分析 （1）由于∠AOB=90°，那么應(yīng)連接AB，得到AB是直徑．由∠BMO=120°可得到∠BAO=60°即可得出答案；
（2）易得OA=6，利用60°的三角函數(shù)，即可求得AB，進(jìn)而求得半徑；
（3）連接CO，過點C作CD⊥AO于點D，易求△ACO的面積和扇形ACO的面積，由弓形AO的面積=S_扇形ACO-S_△ACO計算即可．

解答 解：（1）連接AB，AM，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直徑，
∵∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°-120°=60°，
∴∠BAO=60°，
∴弧BO的度數(shù)為120°；

（2）∵弧BO的度數(shù)為120°，
∴∠BAO=60°，
∵AO=6，
∴cos∠BAO=$\frac{AO}{AB}$，
∴AB=$\frac{6}{cos60°}$=12，
∴⊙C的半徑為6；
（3）連接CO，過點C作CD⊥AO于點D，
∵弧BO的度數(shù)為120°，
∴∠BAO=60°，
∵AC=OC，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠ACO=60°，
∵AC=6，
∴CD=AC•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ACO=$\frac{1}{2}$CD•AO=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×6=9$\sqrt{3}$，
∵S_扇形ACO=$\frac{60×π×36}{360}$=6π，
∴弓形AO的面積=S_扇形ACO-S_△ACO=6π-9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識點有垂徑定理與圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形和扇形面積公式運用，熟練掌握和圓有關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．