Question

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,有一矩形ABCD,其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2,0）、B（8,0）、C（8,3）．將直線l:y＝－3x－3以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t＝_________時(shí),直線l經(jīng)過點(diǎn)A．（直接填寫答案）

（2）設(shè)直線l掃過矩形ABCD的面積為S,試求S＞0時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式．

（3）在第一象限有一半徑為3、且與兩坐標(biāo)軸恰好都相切的⊙M,在直線l出發(fā)的同時(shí),⊙M以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng),如圖2所示,則當(dāng)t為何值時(shí),直線l與⊙M相切？

 

 

Answer 1

【答案】

（1）1;

（2）當(dāng)1＜t≤時(shí),S＝;

當(dāng)＜t≤3時(shí),S＝9t－;

當(dāng)3＜t≤時(shí),S＝－ (3t－10)2＋18;

當(dāng)t＞時(shí),S＝18;

（3）t＝5－或t＝5＋．

【解析】

試題分析:（1）y＝－3x－3與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,0）,直線l經(jīng)過點(diǎn)A（2,0）,故向右平移3個(gè)單位長度,直線l:y＝－3x－3以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng),所以t=1;

（2）求出直線l:y=﹣3x+9t﹣3,再分情況討論;

（3）分兩種情況討論,借助三角形相似即可．

試題解析:(1)y＝－3x－3與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,0）,直線l經(jīng)過點(diǎn)A（2,0）,故向右平移3個(gè)單位長度,直線l:y＝－3x－3以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng),所以t=1;

（2）由題意,可知矩形ABCD頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3)． 

由一次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)t由小到大變化時(shí),直線l:y=﹣3(x﹣3t)-3=﹣3x+9t﹣3向右平移,依次掃過矩形ABCD的不同部分． 

可得當(dāng)直線經(jīng)過A(2,0)時(shí),t=1;當(dāng)直線經(jīng)過D(2,3)時(shí),t=;當(dāng)直線經(jīng)過B(8,0)時(shí),t=3;當(dāng)直線經(jīng)過C(8,3)時(shí),t=． 

①當(dāng)1＜t≤時(shí), 如圖所示． 

設(shè)直線l:y=-3x+9t﹣3與x軸交于點(diǎn)P,與AD交于點(diǎn)Q．

令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3; 

令x=2,可得y=9t﹣9,∴AQ=9t﹣9． 

∴S=S△APQ=AP•AQ=(3t﹣3)( 9t﹣9)=;

②當(dāng)＜t≤3時(shí),如圖所示． 

設(shè)直線l:y=-3x+9t﹣3與x軸交于點(diǎn)P,與CD交于點(diǎn)Q． 

令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3; 

令y=3,可得x=3t﹣2,∴DQ=3t﹣4． 

S=S梯形APQD=(DQ+AP)•AD=9t－;

③當(dāng)3＜t≤時(shí),如圖所示． 

設(shè)直線l:y=-3x+9t﹣3與BC交于點(diǎn)P,與CD交于點(diǎn)Q． 

令x=8,可得y=9t﹣27,∴BP=9t﹣27,CP=30﹣9t; 

令y=3,可得x= 3t﹣2,∴DQ= 3t﹣4,CQ=10﹣3t． 

S=S矩形ABCD﹣S△PQC=18﹣CP•CQ=－(3t－10)2＋18;

④當(dāng)t＞時(shí),S=S矩形ABCD=18．

綜上所述, S與t的函數(shù)關(guān)系式為:

 ;

(3)若直線l:y=﹣3x+9t﹣3與⊙M相切,如圖所示,應(yīng)有兩條符合條件的切線．

設(shè)直線與x軸、y軸交于A、B點(diǎn),則A(3t﹣1,0)、B(0,9t﹣3),∴OB=3OA．

由題意,可知⊙M與x軸相切,設(shè)切點(diǎn)為D,連接MD; 

設(shè)直線與⊙M的一個(gè)切點(diǎn)為P,連接MP并延長交x軸于點(diǎn)G;過P點(diǎn)作PN⊥MD于點(diǎn)N,PH⊥x軸于點(diǎn)H． 

易證△PMN∽△BAO,∴PN:MN=OB:OA=3,∴PN=3MN． 

在Rt△PMN中,由勾股定理得:PM2=PN2+MN2,解得: MN=,PN=, 

∴PH=ND=MD﹣MN=3﹣,OH=OD﹣HD=OD﹣PN=2t+3﹣,

∴P(2t+3﹣,3﹣),代入直線解析式求得:t=5﹣; 

同理,當(dāng)切線位于另外一側(cè)時(shí),可求得:t=5+．

考點(diǎn):動(dòng)點(diǎn)問題．