Question

（2012•泰興市一模）等腰直角△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現(xiàn)△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，同時△ABC的邊長AB、BC又以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大．
（1）當(dāng)△ABC的邊（BC邊除外）與圓第一次相切時，點B移動了多少距離？
（2）若在△ABC移動的同時，⊙O也以每秒1個單位的速度向右移動，則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了多少時間？
（3）在（2）的條件下，是否存在某一時刻，△ABC與⊙O的公共部分等于⊙O的面積？若存在，求出恰好符合條件時兩個圖形移動了多少時間？若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)△ABC第一次與圓相切時，應(yīng)是AC與圓相切．如圖，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點E，連OE并延長，交B′C′′于F．設(shè)⊙O與直線l切于點D，連OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l．由切線長定理，以及直角三角形的性質(zhì)可求得CD的值，進(jìn)而求得CC′的值，從而求得點C運(yùn)動的時間，也就有了點運(yùn)動的時間，點B移動的距離也就可求得了．
（2）△ABC與⊙O從開始運(yùn)動到最后一次相切時，應(yīng)為AB與圓相切，路程差為6，速度差為1，故從開始運(yùn)動到最后一次相切的時間為6秒．
（3）若圓能在△ABC的內(nèi)部時，則存在；若圓O不能在三角形的內(nèi)部，則不存在；即求在（2）條件下，AC與圓的位置關(guān)系即可．
解答：
解：（1）設(shè)第一次相切時，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點E，連OE并延長，
交B′C′于F．
設(shè)⊙O與直線l切于點D，連OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l．
由切線長定理可知C’E=C′D，設(shè)C′D=x，則C′E=x，易知C′F=x．
∴x+x=1，
∴x=-1，
∴CC’=5-1-（-1）=5-．
∴點C運(yùn)動的時間為（5-）÷（2+0.5）=2-．
∴點B運(yùn)動的距離為（2-）×2=4-．

（2）∵△ABC與⊙O從開始運(yùn)動到最后一次相切時，是AB與圓相切，且圓在AB的左側(cè)，故路程差為6，速度差為1，
∴從開始運(yùn)動到最后一次相切的時間為6秒．

（3）∵△ABC與⊙O從開始運(yùn)動到第二次相切時，路程差為4，速度差為1，
∴從開始運(yùn)動到第二次相切的時間為4秒，此時△ABC移至△A″B″C″處，
A″B″=1+4×=3．
連接B^”O并延長交A″C″于點P，易證B″P⊥A″C″，且OP=-=＜1．
∴此時⊙O與A″C″相交，
∴不存在．
點評：本題考查了直線與圓的相切，相交的概念，利用了切線長定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，