Question

拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B兩點，與y軸交于C（0，-3），頂點為D，點M是拋物線上任意一點．
（1）求拋物線解析式；
（2）在拋物線對稱軸右側的圖象上是否存在點M，使∠AMC=∠MCD？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點N為拋物線對稱軸上一動點，若以B、N、C為頂點的三角形為直角三角形，求出所有相應的點N的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式進而得出答案即可；
（2）首先求出l_CD：y=-x-3，l_AM：y=-x-1進而得出，當y=x²-2x-3=-x-1時，AM∥CD，求出M點坐標即可；
（3）①若∠BNC=90°，則BC²=BN²+NC²，②若∠NBC=90°，則NC²=BN²+BC²，③若∠NCB=90°，則BN²=NC²+BC²，分別求出N點坐標即可．

解答：解：（1）拋物線y=x²+bx+c過（-1，0）（0，-3）
∴

1-b+c=0 c=-3

解得：

b=-2 c=-3

∴拋物線解析式為：y=x²-2x-3；

（2）存在．
如圖1，當AM∥CD時，∠AMC=∠MCD，
由（1）可得拋物線y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴D（1，-4）
設直線CD為：y=kx-3過D（1，-4）
∴l(xiāng)_CD：y=-x-3
設直線AM為：y=-x+b過A（-1，0）
∴l(xiāng)_AM：y=-x-1
當y=x²-2x-3=-x-1時，AM∥CD，
∴x₁=-1（舍），x₂=2，
∴y=2²-2×2-3=-3，
∴M（2，-3）；

（3）設N（1，n），則BN=

4+n2

，NC=

1+(-3-n)2

，BC=3

2

，
①如圖2，若∠BNC=90°，則BC²=BN²+NC²，即18=4+n²+1+9+6n+n²
∴n²+3n-2=0，
∴解得：n=

-3± 17

2

∴N（1，

-3+ 17

2

）或N（1，

-3- 17

2

），
②若∠NBC=90°，則NC²=BN²+BC²，即1+9+6n+n²=4+n²+18
∴6n=12，
∴n=2
∴N（1，2），
③若∠NCB=90°，則BN²=NC²+BC²，即1+9+6n+n²+18=4+n²
∴6n=-24，
∴n=-4
∴N（1，-4），
綜上，當N（1，

-3+ 17

2

）或N（1，

-3- 17

2

）或N（1，2）或N（1，-4）時，以B、N、C為頂點的三角形為直角三角形．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及勾股定理的應用和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，利用分類討論得出N點坐標是解題關鍵．