Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，） ，點B在x軸的負半軸上，

∠ABO=30°.

（1）求過點A、O、B的拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使AC+OC的值最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在（1）中軸下方的拋物線上是否存在一點P，過點P作軸的垂線，交直線AB于點D，線段OD把△AOB分成兩個三角形．使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3 ？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：                   

（1）過點A作AF⊥x軸于點F，

∵∠ABO=30°，A的坐標為（1，），

∴ BF=3 .

 ∵ OF=1 ,

∴ BO=2 .

∴ B(-2,0).

設拋物線的解析式為y=ax(x+2)，代入點A（1, ），得，

∴   …………………………………2分

（2）存在點C.

過點A作AF垂直于x軸于點F，拋物線的對稱軸x= - 1交x軸于點E.

當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，AC+OC的值最小.

∵  △BCE∽△BAF,

∴ .

∴

∴C（，）…………………………………4分

（3）存在.

 如圖，連結AO，設p(x,y)，直線AB為y=kx+b,則

              ，

           ∴直線AB為，

 = |OB||P|+|OB||D|=|P|+|D|

              =.

∵S△AOD= S△AOB-S△BOD =-×2×∣x+∣=-x+.

∴==.  

 ∴x1=-  , x2=1(舍去).

∴p(-,-)  .

又∵S△BOD =x+,

∴ == .

∴x1=- ,    x2=-2.

P(-2,0)，不符合題意.

∴ 存在，點P坐標是（-，-）. ……………

解析:略