Question

如圖，拋物線C₁：y=ax²+bx+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，0），
【小題1】求拋物線C₁的解析式；
【小題2】如圖1，將拋物線C₁向右平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到拋物線C₂，直線y=x+c，經(jīng)過點(diǎn)D交y軸于點(diǎn)A，交拋物線C₂于點(diǎn)B，拋物線C₂的頂點(diǎn)為P，求△DBP的面積
【小題3】如圖2，連接AP，過點(diǎn)B作BC⊥AP于C，設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長交BC于點(diǎn)E，連接BQ并延長交AC于點(diǎn)F，試證明：FC·（AC+EC）為定值．

Answer 1

【小題1】解：∵拋物線頂點(diǎn)為P（1，0），經(jīng)過點(diǎn)（0，1）
∴可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，將點(diǎn)（0，1）代入，得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1；                        3分
【小題2】解：根據(jù)題意，平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)P（2，-1）
∴拋物線的解析式為：y=（x-2）²-1，
∴A（0，-1），B（4，3），∴S_△DBP=3；
【小題3】證明：過點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（t，t²-4t+3），則QM=CN=（t-2）²，MC=QN=4-t．
∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC，
∴QM ：EC ="PM" ：PC ，即(t-2) ²：EC ="t-1" ：2 ，
得EC=2（t-2），
∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，
∴QN ：FC ="BN" ：BC ，
即4-t ：FC ="3-(t" ² -4t+3) ：4 ，
得FC="4" ：t ，又∵AC=4，
∴FC（AC+EC）= [4+2（t-2）]=8，
即FC（AC+EC）為定值8．                           9分

解析