Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線=－++，經(jīng)過A（0，－4）、

  B（，0）、 C（，0）三點，且-=5．

  （1）求、的值；

  （2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；

  （3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標(biāo)，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．

Answer 1

1）∵拋物線=－++經(jīng)過點A（0，－4），∴=－4          ……1分

又由題意可知，、是方程－++=0的兩個根，

∴+=，  =－=6                                ……2分

由已知得（-）=25又（-）=（+）－4=－24

∴ －24=25 ，解得=±                                    ……3分

當(dāng)=時，拋物線與軸的交點在軸的正半軸上，不合題意，舍去．

∴=－．                                                       ……4分

（2）∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點D必在拋物線的對稱軸上， 又∵=－－－4=－（+）+              ……6分

∴拋物線的頂點（－，）即為所求的點D．　　　　               ……7分

（3）∵四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，點B的坐標(biāo)為（－6，0），

根據(jù)菱形的性質(zhì)，點P必是直線=-3與拋物線=－--4的交點，

∴當(dāng)=－3時，=－×（－3）－×（－3）－4=4，             ……8分

∴在拋物線上存在一點P（－3，4），使得四邊形BPOH為菱形．           ……9分

四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點P的坐標(biāo)只能是

（－3，3），但這一點不在拋物線上．　　　　                         ……10分

注意：如果有其它解法請參照給分！