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8.如圖1在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知拋物線y=a(x+1)(x-3)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且∠ABC=45°.
(1)求a的值;
(2)如圖2,點(diǎn)D在線段BC上(不與C重合),當(dāng)AD=AC時(shí),求D點(diǎn)坐標(biāo);
(3)如圖3,在(2)的條件下,E為拋物線上一點(diǎn),且在第一象限,過(guò)E作EF∥AD與AC相交于點(diǎn)F,當(dāng)EF被BC平分時(shí),求點(diǎn)E坐標(biāo).

分析 (1)通過(guò)拋物線解析式求出點(diǎn)AB坐標(biāo),利用等腰直角三角形性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線即可求出a值;
(2)由B、C點(diǎn)坐標(biāo)可得出直線BC的解析式,設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)(m,-m+3),由兩點(diǎn)間的距離公式可表示出AD的長(zhǎng)度,再由AC=AD找出關(guān)于m的一元二次方程,解方程求出m的值,代入到D點(diǎn)坐標(biāo)中即可得出結(jié)論.
(3)由A、D點(diǎn)坐標(biāo)可得出直線AD的解析式,由EF平行AD設(shè)出直線EF的解析式,代入到拋物線中可得到關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和,再由直線EF和BC的解析式可找出交點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)EF被BC平分,可知交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍為前面一元二次方程的兩根之和,解方程即可得出直線EF的解析式,從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo).

解答 解(1)拋物線y=a(x+1)(x-3),
令y=0,則有a(x+1)(x-3)=0,
解得:x=-1,或x=3,
∴A(-1,0),B(3,0),
∵∠ABC=45°,∠BOC=90°,
∴OB=OC=3,
∴C(0,3),
將點(diǎn)C(0,3)代入二次函數(shù)解析式得:
3=a×(0+1)×(0-3),
解得:a=-1.
(2)∵點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)B(3,0),
∴AC=10,
又∵∠ABC=45°,
∴直線BC的解析式為y=-x+3,
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,-m+3),
由兩點(diǎn)間的距離公式可知:AD=[m1]2+m+32,
∵AD=AC=10,
∴有[m1]2+m+32=10
解得:m=0(舍去),m=2,
此時(shí)-m+3=-2+3=1.
故當(dāng)AD=AC時(shí),D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).
(3)設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,
將A(-1,0),D(2,1)代入,得
{0=k+b1=2k+b,解得{k=13b=13
∴直線AD的解析式為y=13x+13
∵EF∥AD,
∴設(shè)直線EF的解析式為y=13x+c.
令-x+3=13x+c,則有x=34(3-c).
將y=13x+c代入y=-1(x+1)(x-3)中,得
x253x-(3-c)=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系可知:x1+x2=-531=53
∵EF被BC平分,
∴EF與BC的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1+x22,
34(3-c)×2=53,解得:c=179
解方程x253x-(3-179)=0,得:x1=5656,x2=5+656
∵點(diǎn)E在第一象限,
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為5+656
將x=5+656代入y=13x+179中得,y=39+6518
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5+656,39+6518).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離公式以及根與系數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵:(1)找出C點(diǎn)的坐標(biāo);(2)用含m的代數(shù)式表示AD的長(zhǎng)度;(3)由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)找出關(guān)于c的一元一次方程.本題屬于中檔題,(1)(2)沒(méi)有難度;(3)難度不小,由于數(shù)據(jù)較大,帶來(lái)運(yùn)算的麻煩.解決該類題型時(shí),聯(lián)立直線與二次函數(shù)的關(guān)系式,利用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)表示出兩根之和能給解題帶來(lái)極大的方便.

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