Question

（2012•道里區(qū)三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，將矩形ABCD折疊使點D和點B重合，折痕為EF，則EF=

2

5

．

Answer 1

分析：首先由折疊的性質(zhì)知BE=ED，∠BEG=∠DEG，可得△BDE是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BG=GD，BD⊥EF，再在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD的長，再在Rt△ABE中利用勾股定理計算出AE的長，進而得到ED的長，再次利用勾股定理計算出EG的長，然后證明△BGF≌△DGE，繼而得到GF=EG，從而得到EF的長．

解答：解：連接BD，交EF于點G，
由折疊的性質(zhì)知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，
則△BDE是等腰三角形，
∵∠BEG=∠DEG，
∴BG=GD，BD⊥EF（頂角的平分線是底邊上的高，是底邊上的中線），
在Rt△ABD中，BD=

AB2+AD2

=

16+64

=4

5

，
∵BG=DG，
∴DG=

1

2

DB=2

5

，
設(shè)AE=x，則DE=BE=8-x，
在Rt△ABE中：AE²+AB²=BE²，
則x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
則ED=8-3=5，
在Rt△EDG中：EG²+DG²=ED²，
EG=

ED2-DG2

=

5

，
∵BD⊥EF，
∴∠BGF=∠EGD=90°，
∵AD∥CB，
∴∠EDG=∠GBF，
又∵BG=DG，
∴△BGF≌△DGE，
∴GF=EG=

5

，
∴EF=2

5

．
故答案為：2

5

．

點評：此題主要考查了折疊的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．