Question

7．如圖，在?ABCD中，AD⊥BD，AB=10，AD=6，以AD為斜邊在?ABCD的內(nèi)部作Rt△AED，使∠EAD=∠DBA，點(diǎn)A′、E′、D′分別與點(diǎn)A、E、D重合，△A′E′D′以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿DC方向平移，當(dāng)點(diǎn)E′落在BC邊上時(shí)停止移動(dòng)，線(xiàn)段BD交邊A′D′于點(diǎn)M，交邊A′E′或D′E′于點(diǎn)N，設(shè)平移的時(shí)間為t（秒）．
（1）DM的長(zhǎng)為4t（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)E′落在BD上時(shí)，求t的值；
（3）若△A′E′D′與△BDC重疊部分圖形的面積為S（平方單位），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在不添加輔助線(xiàn)的情況下，直接寫(xiě)出平移過(guò)程中，出現(xiàn)于△DMD′全等的三角形時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由△DMD′∽△BDA，得到$\frac{DM}{BD}$=$\frac{DD′}{AB}$=$\frac{MD′}{AD}$，由此即可解決問(wèn)題．
（2）如圖1中，當(dāng)E′在BD上時(shí)，先證明DD′=D′E′，列出方程即可解決問(wèn)題．
（3）分兩種情形①當(dāng)0＜t$≤\frac{18}{25}$時(shí)，如圖2中，重疊部分是△D′MK，②當(dāng)$\frac{18}{25}$＜t≤$\frac{32}{25}$時(shí)，如圖3中，重疊部分是四邊形D′E′KM，分別求解即可．
（4）分三種情形討論即可：①當(dāng)0＜t≤$\frac{18}{25}$時(shí)，如圖2中，△DMD′≌△KMD′．②當(dāng)DD′=D′C時(shí)，△DMD′≌△BMA′，③當(dāng)DD′=AD時(shí)，△DMD′≌△AED．

解答 解：（1）∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵AD∥A′D′，
∴A′D′⊥BD，
∴∠DMD′=∠ADB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠D′DM=∠ABD，
∴△DMD′∽△BDA，
∴$\frac{DM}{BD}$=$\frac{DD′}{AB}$=$\frac{MD′}{AD}$，
∴$\frac{DM}{8}$=$\frac{5t}{10}$=$\frac{MD′}{6}$，
∴DM=4t，MD′=3t．
故答案為4t．

（2）如圖1中，當(dāng)E′在BD上時(shí)，

∵∠D′E′M+∠A′E′M=90°，∠MA′E′+∠A′E′M=90°，
∴∠E′A′M=∠D′E′M，
∵CD∥AB，
∴∠CDB=∠ABD，
∵∠E′A′M=∠ABD，
∴∠D′DE′=∠D′E′D，
∴DD′=D′E′，
由△ADE∽△BAD得到，DE=$\frac{18}{5}$，AE=$\frac{24}{5}$
∴5t=$\frac{18}{5}$，
∴t=$\frac{18}{25}$．

（3）①當(dāng)0＜t$≤\frac{18}{25}$時(shí)，如圖2中，重疊部分是△D′MK，

S=$\frac{1}{2}$D′M×MK=$\frac{1}{2}$×3t×4t=6t²．
②如圖3中，過(guò)點(diǎn)E作JH∥AB，交AD于J，交BC于H，由題意可知，∠ADE=∠DJE，
∴EJ=ED=$\frac{18}{5}$，
∴EH=JH-EJ=10-$\frac{18}{5}$=$\frac{32}{5}$，
當(dāng)$\frac{18}{25}$＜t≤$\frac{32}{25}$時(shí)，如圖3中，重疊部分是四邊形D′E′KM，

S=S_{△A′D′E′}-S_△A′MK=$\frac{1}{2}$×$\frac{18}{5}$×$\frac{24}{5}$-$\frac{1}{2}$（6-3t）•$\frac{3}{4}$（6-3t）=-$\frac{27}{8}$t²+$\frac{27}{2}$t-$\frac{263}{56}$．
綜上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{6{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{18}{25}）}\\{-\frac{27}{8}{t}^{2}+\frac{27}{2}t-\frac{263}{56}}&{（\frac{18}{25}＜t≤\frac{32}{25}）}\end{array}\right.$．

（4）①當(dāng)0＜t≤$\frac{18}{25}$時(shí)，如圖2中，△DMD′≌△KMD′．
②當(dāng)DD′=D′C時(shí)，△DMD′≌△BMA′，此時(shí)t=1，
③當(dāng)DD′=AD時(shí)，△DMD′≌△AED，此時(shí)5t=6，t=$\frac{6}{5}$，
綜上所述當(dāng)0＜t$≤\frac{18}{25}$ 或t=1 或t=$\frac{6}{5}$s時(shí)，出現(xiàn)與△DMD′全等的三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、平移變換、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)正確畫(huà)好圖形，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論，考慮問(wèn)題要全面，不能漏解，屬于中考?jí)狠S題．