Question

4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB是等邊三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C在OA上且OC=1，連接BC．一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→O的方向向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P移動(dòng)的路程為m．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接OP，求滿足△BPO≌△OCB的m值；
（2）連接PC，求△OPC的面積s關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作邊AB的垂線l，并以直線l為對(duì)稱軸，作線段AC的對(duì)稱線段A₁C₁．請(qǐng)寫(xiě)出在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段A₁C₁與y軸有交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的性質(zhì)可知BP=OC，由m=AB-PB求解即可；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，垂足為D，三角形OPC的面積S=$\frac{1}{2}$OC•DP，然后分為點(diǎn)P在AB和OB上兩種情況求得PD的長(zhǎng)，從而得到S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求得點(diǎn)A′或點(diǎn)C′恰好在y軸上時(shí)m的值，從而可確定出m的范圍．

解答 解：（1）∵△BPO≌△OCB，
∴BP=OC=1．
∴m=AB-BP=3-1=2．
（2）①如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA．

∵∠OAP=60°，∠PDA=90°，
∴∠APD=30°．
∴PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PA$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．
∴S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$m=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$m；
②如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA．

∵OP=AB+OB-m=6-m，
∴PD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（6-m），
∴S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（6-m）=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（6-m）．
綜上所述，S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}m（0＜m≤3）}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}（6-m）（3＜m＜6）}\end{array}\right.$．
（3）如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在y軸上時(shí)．

由翻折的性質(zhì)可知：CC′⊥PE，DC=DC′，
又∵PE⊥AB，
∴DC∥PA．
∴∠C′CO=∠A=60°．
∴∠CC′O=30°．
∴CC′=2OC=2．
∴DC=1．
∵在△DCE中，∠EDC=90°，∠DCE=60°，
∴∠DEC=30°．
∴EC=2DC=2．
∴EC=CA．
∵DC∥AB，
∴$\frac{DC}{AP}=\frac{EC}{AE}$=$\frac{1}{2}$．
∴AP=2．即m=2．
如圖4所示：當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′在y軸上時(shí)．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線PD對(duì)稱，
∴PA=PA′．
∵∠A=60°，∠AOA′=90°，
∴∠AA′O=30°．
∴AA′=2OA=6．
∴PA=3．
∴點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，此時(shí)m=3．
如圖5所示：當(dāng)點(diǎn)P在OB上，點(diǎn)C′在y軸上．

∵∠PCO=60°，∠POC=60°，
∴△OPC為等邊三角形．
∴PO=OC=1．
∴PB=2．
∴m=PB+AB=5．
∴線段A₁C₁與y軸有交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍是2≤m≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)，三角形的面積公式，求得點(diǎn)A′和點(diǎn)C′恰好在y軸上時(shí)m的值是解題的關(guān)鍵．