Question

14．如圖，在△ABC中，點O是△ABC的外心，過點O作OD⊥AC，交AC于點D，連接BO，過點A作AE⊥BC，垂足為E，若BO=7，OD=3，則cos∠BAE的值為$\frac{2\sqrt{10}}{7}$．

Answer 1

分析 連接OA、OC，則OA=OC=OA=7，由OD⊥AC，得出∠AOD=∠COD，由勾股定理求出AD，由圓周角定理得出∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=∠AOD，得出cos∠BAE=cos∠AOD，即可求出結(jié)果．

解答 解：連接OA、OC，如圖所示：
則OA=OC=OA=7，
∵OD⊥AC，
∴∠AOD=∠COD，AD=$\sqrt{O{A}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-{3}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵點O是△ABC的外心，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=∠AOD，
∴cos∠BAE=cos∠AOD=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{2\sqrt{10}}{7}$；
故答案為：$\frac{2\sqrt{10}}{7}$．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心、圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握圓周角定理，由圓周角定理得出∠ABC=∠AOD是解題的關(guān)鍵．