Question

17．如圖，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，在線段AB上取一點(diǎn)D，作DF⊥AB交AC于點(diǎn)F．現(xiàn)將△ADF沿DF折疊，使點(diǎn)A落在線段DB上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A₁；AD的中點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為E₁，若△E₁FA₁∽△E₁BF，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 利用勾股定理列式求出AC，設(shè)AD=2x，得到AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，然后求出BE₁，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E₁F，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解得到x的值，從而可得AD的值．

解答 解：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=12，
設(shè)AD=2x，
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△ADF沿DF折疊，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A₁，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E₁，
∴AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DF}{BC}$，
即$\frac{2x}{12}=\frac{DF}{9}$，
解得DF=$\frac{3}{2}$x，
在Rt△DE₁F中，E₁F=$\frac{\sqrt{13}}{2}$x，
又∵BE₁=AB-AE₁=5-3x，△E₁FA₁∽△E₁BF，
∴$\frac{{E}_{1}F}{{A}_{1}{E}_{1}}$=$\frac{B{E}_{1}}{{E}_{1}F}$，
∴E₁F²=A₁E₁•BE₁，
即（$\frac{\sqrt{13}}{2}$x）²=x（15-3x），
解得x=$\frac{12}{5}$，
∴AD的長(zhǎng)為2×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，綜合題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．