9.已知一元二次方程x2-2mx+m2+m-1=0,其中m為常數(shù).
(1)若該一元二次方程有實數(shù)根,則m的取值范圍m≤1;
(2)當m變化時,設拋物線y=x2-2mx+m2+m-1頂點為M,點N的坐標為N(3,0),請求出線段MN長度的最小值;
(3)設y=x2-2mx+m2+m-1與直線y=x交于不同的兩點A、B,則m變化時,線段AB的長度是否發(fā)生變化?若不變,請求出AB的長;若變化,請說明理由.

分析 (1)根據(jù)元二次方程有實數(shù)根,△≥0即可解決.
(2)根據(jù)兩點之間的距離公式,轉化為二次函數(shù)的最值問題解決.
(3)利用方程組求出(X1-X22=(y1-y22=5,再根據(jù)兩點距離公式即可解決.

解答 解:(1)∵一元二次方程有實數(shù)根,
∴△≥0,
∴4m2-4m2-4m+4≥0
∴m≤1,
故答案為m≤1.
(2)∵y=x2-2mx+m2+m-1=(x-m)2+m-1,
∴頂點為M(m,m-1),
∵N(3,0),
∴MN2=(m-3)2+(m-1)2=2m2-8m+10=2(m-2)2+2,
∴m=2時,MN2的最小值為2,
∴MN的最小值為$\sqrt{2}$.
(3)AB的長度不變,AB=$\sqrt{10}$,理由如下:
設A(x1,y10,B(X2,Y2),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-1}\end{array}\right.$消去y得x2-(2m+1)x+m2+m-1=0,
∴(X1-X22=(x1+x22-4x1x2=(2m+1)2-4(m2+m-1)=5,
∵y=x,
∴(y1-y22=5,
∴AB=$\sqrt{({x}_{1}-{x}_{2})^{2}+({y}_{1}-{y}_{2})^{2}}$=$\sqrt{10}$,
∴AB的長度不變,AB=$\sqrt{10}$.

點評 本題考查一元二次方程的根的判別式、二次函數(shù)的最值問題、兩點的距離公式、根與系數(shù)的關系等知識,靈活運用根與系數(shù)關系是解決問題的關鍵.

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