Question

1．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直徑為2$\sqrt{3}$的⊙A經(jīng)過坐標(biāo)系原點(diǎn)O（0，0），與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，$\sqrt{3}$）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖②，過點(diǎn)B作⊙A的切線交直線OA于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P作⊙A的另一條切線PE，請(qǐng)直接寫出切點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）連接BC，根據(jù)圓周角定理得到BC是⊙A的直徑，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)正切的定義求出∠OBC的度數(shù)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出PD、OD，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)切線長(zhǎng)定理求出∠EPB=60°，證明PE∥OD，求出切點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖①，連接BC，
∵∠BOC=90°，
∴BC是⊙A的直徑，
∴$BC=2\sqrt{3}$，
∵$C（{0，\sqrt{3}}）$，
∴$OC=\sqrt{3}$．
∴OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=3，
∴B（3，0）；
（2）如圖②，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵PB為⊙A的切線，
$C（{0，\sqrt{3}}）$，
∴$tan∠OBC=\frac{OC}{OB}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴∠OBC=30°，
∴∠AOB=30°．
∴∠OPB=180°-∠POB-∠ABO-∠ABP=30°．
∴OB=BP=3，
在Rt△PBD中，∠PDB=90°，∠PBD=60°，BP=3，
∴$BD=\frac{3}{2}$，$PD=\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
∵OB=3，
∴$OD=OB+BD=\frac{9}{2}$．
∴$P（{\frac{9}{2}，\frac{3}{2}\sqrt{3}}）$；
（3）由（2）得，∠OPB=30°，
∵PE、PB是⊙A的切線，
∴∠EPA=∠OPB=30°，
∴∠EPB=60°，又∠PBD=60°，
∴PE∥OD，
∴$E（{\frac{3}{2}，\frac{3}{2}\sqrt{3}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握?qǐng)A周角定理、切線的性質(zhì)定理以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意輔助線的作法和勾股定理的正確運(yùn)用．