Question

16．將直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C及點(diǎn)B（-3，0）．
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式．
（2）若點(diǎn)P是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線(xiàn)交AC于點(diǎn)E，連接AP，當(dāng)△APE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）算出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，由待定系數(shù)法直接求出拋物線(xiàn)解析式；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)PE∥AB得出△CEP∽△CAB，利用面積比等于相似比的平方得出三角形CEP的面積表達(dá)式，再用m表示出三角形APC的面積，三角形APC的面積減去三角形CEP的面積就是三角形APE的面積，再利用配方法求面積最大值以及P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，6），
∴c=6，
∵拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)（-3，0）和（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=9a-3b+6}\\{0=36a+6a+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：$y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+x+6$，
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），

則PC=6-m，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC•AO=\frac{1}{2}×9×6=27$，
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CAB，
$\frac{{S}_{△CEP}}{{S}_{△CAB}}=（\frac{PC}{BC}）^{2}$，即：$\frac{{S}_{△CEP}}{27}=（\frac{6-m}{9}）^{2}$，
∴${S}_{△CEP}=\frac{1}{3}（6-m）^{2}$，
∵${S}_{△APC}=\frac{1}{2}PC•AO=\frac{1}{2}（6-m）6$=3（6-m），
∴S_△APE=S_△APC-S_CEP=$3（6-m）-\frac{1}{3}（6-m）^{2}$=$-\frac{1}{3}（m-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{27}{4}$，
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_△APE有最大值為$\frac{27}{4}$，此時(shí)，P（$\frac{3}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、配方法求二次函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)，難度不大，屬中檔題．利用相似三角形的面積比等于相似比的平方這一性質(zhì)表示出三角形CEP的面積是解答第二問(wèn)的關(guān)鍵．