Question

18．如圖，已知直線l₁∥l₂，直線l₃和直線l₁、l₂分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D，P為直線l₃上一點(diǎn)，A、B分別是直線l₁、l₂上的定點(diǎn)．設(shè)∠CAP=∠1，∠APB=∠2，∠DBP=∠3．
（1）若P點(diǎn)在線段CD（C、D兩點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系是什么？說(shuō)明理由．
（2）在l₁∥l₂的前提下，若P點(diǎn)在線段CD之外時(shí)，∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系又怎樣？直接寫(xiě)出結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₁，根據(jù)l₁∥l₂可知PE∥l₂，故可得出∠1=∠APE，∠3=∠BPE．再由∠2=∠APE+∠BPE即可得出結(jié)論；
（2）由于點(diǎn)P的位置不確定，故應(yīng)分當(dāng)點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上與點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論．

解答 （1）∠2=∠1+∠3．
證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂，
∴∠1=∠APE，∠3=∠BPE．
又∵∠2=∠APE+∠BPE，
∴∠2=∠1+∠3；

（2）①如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠2=∠3-∠1．
理由：過(guò)點(diǎn)P作PF∥l₁，∠FPA=∠1．
∵l₁∥l₂，
∴PF∥l₂，
∴∠FPB=∠3，
∴∠2=∠FPB-∠PFA=∠3-∠1；
②如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠2=∠1-∠3．
理由：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₂，∠EPB=∠3．
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₁，
∴∠EPA=∠1，
∴∠2=∠EPA-∠EPB=∠1-∠3

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．