Question

如圖，AB∥CD，∠CAB=108°，AC=2．
（1）用直尺和圓規(guī)作∠C的平分線CE，交AB于E，并在CD上取一點(diǎn)F，使AC=AF，再連接AF，交CE于K；（要求保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出作法）
（2）依據(jù)現(xiàn)有條件，直接寫(xiě)出圖中所有相似的三角形，并求出AK．（圖中不再增加字母和線段，不要求證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先作∠C的平分線CE：以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)��；再以此弧與∠C兩邊的交點(diǎn)為圓心，以大于這兩個(gè)交點(diǎn)連線的一半為半徑畫(huà)弧，過(guò)此兩弧的交點(diǎn)作射線CE即可；以點(diǎn)A為圓心，以AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，弧與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)F；
（2）根據(jù)平行于三角形的一邊的直線截三角形的另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所得三角形與原三角形相似，可得△EAK∽△CFK；由平行線的內(nèi)錯(cuò)角相等、角平分線材的定義可得△ACE是等腰三角形，可得∠AFC=∠ACF=72°，易得∠ACK=∠AEC=∠CAF=36°，即可得△CKF∽△ACF∽△EAK，△CAK∽△CEA．
解答：解：（1）CE作法正確得（2分），F(xiàn)點(diǎn)作法正確得（1分），K點(diǎn)標(biāo)注正確得（1分）；

（2）△CKF∽△ACF∽△EAK；△CAK∽△CEA
理由：∵AB∥CD，∠CAB=108°，
∴∠ACD=72°，
∴∠ECF=∠AEC，
∵∠ECF=∠ACE=∠ACF=36°，
∴∠ACE=∠AEC=36°，
∵AC=AF，
∴∠AFC=∠ACF=72°，
∴∠CKF=72°，∠CAF=36°，
∴△CKF∽△ACF∽△EAK，△CAK∽△CEA．
∵△CKF∽△ACF，
∴=，
∵CK=CF=AK，
∴=，
解得：AK=-1±，（AK不可能是負(fù)數(shù)），
∴AK=-1．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定定理：平行于三角形的一邊的直線截三角形的另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所得三角形與原三角形相似；有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似．此題還考查了尺規(guī)作圖法，解題時(shí)要注意作法．