【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2),以M為圓心,以4為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)B、C,與y軸正半軸相交于點(diǎn)A過(guò)A作AE∥BC,點(diǎn)D為弦BC上一點(diǎn),AE=BD,連接AD,EC.
(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求證:AD=CE;
(3)若點(diǎn)P是弧BAC上一動(dòng)點(diǎn)(P點(diǎn)與A、B點(diǎn)不重合),過(guò)點(diǎn)P的⊙M的切線PG交x軸于點(diǎn)G,若△BPG為直角三角形,試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0);(2)證明見(jiàn)解析;(3)所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣4,2),(4,2),(﹣2,4),(2,4).
【解析】
(1)根據(jù)勾股定理可以求得OB和OC的長(zhǎng)度,從而可以得到B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)可以證明結(jié)論成立;
(3)根據(jù)題意,畫(huà)出相應(yīng)的圖形,然后利用分類(lèi)討論的方法可以得到點(diǎn)P的坐標(biāo).
解:(1)連接MB、MC,如圖一所示,
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2),以M為圓心,以4為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)B、C,
∴MB=MC=4,OM=2,
∵∠MOB=∠MOC=90°,
∴OB=,
∴OC=2,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0);
(2)證明:作AF∥EC交x軸于點(diǎn)F,如圖一所示,
∵AE∥BC,
∴四邊形AFCE是平行四邊形,
∴AE=FC,AF=EC,
∵AE=BD,
∴BD=CF,
又∵OB=OC,
∴OD=OF,
在△AOD和△AOF中,
,
∴△AOD≌△AOF(SAS),
∴AD=AF,
∴AD=EC,
即AD=CE;
(3)當(dāng)△BP1G是直角三角形時(shí),如圖二所示,
∵MA=MP1=4,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2),
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(﹣4,2);
當(dāng)△BP2G是直角三角形時(shí),如圖二所示,
∵MA=MP2=4,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2),
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(4,2);
當(dāng)△BP3G是直角三角形時(shí),如圖三所示,
∵OB=2,OM=2,
∴tan∠MBO= ,
∴∠MBO=30°,
∴∠MBP3=60°,
∵BM=MP3,
∴△BMP3是等邊三角形,
∴BP3=4,
∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(﹣2,4);
當(dāng)△BP4G是直角三角形時(shí),如圖三所示,
∵BP4=8,∠P4BG=30°時(shí),
∴點(diǎn)P4的縱坐標(biāo)是:8×sin30°=8×=4,橫坐標(biāo)是:﹣2+8×cos30°=﹣2+8×=﹣2+4=2,
∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為(2,4);
由上可得,若△BPG為直角三角形,所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣4,2),(4,2),(﹣2,4),(2,4).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】體育課上,小明、小強(qiáng)、小華三人在足球場(chǎng)上練習(xí)足球傳球,足球從一個(gè)人傳到另一個(gè)人記為踢一次.如果從小強(qiáng)開(kāi)始踢,經(jīng)過(guò)兩次踢球后,足球踢到小華處的概率是多少?經(jīng)過(guò)三次踢球后,足球踢回到小強(qiáng)處的概率呢?(列表或畫(huà)樹(shù)形圖或列舉)
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(1)若優(yōu)弧上一段的長(zhǎng)為10π,求∠AOP度數(shù)及x的值.
(2)若線段PQ的長(zhǎng)為10,求這時(shí)x的值.
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【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上,AB、CD相交于點(diǎn)O,則tan∠AOD=________.
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【題目】如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,在下列說(shuō)法中①ac>0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=3;③a+b+c<0;④當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而增大,正確的是( )
A. ①③B. ②④C. ①②④D. ②③④
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),交y軸正半軸于點(diǎn)C,且,點(diǎn)D在該函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖象上.
求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo);
若的最大面積為平方單位,求點(diǎn)D的坐標(biāo)及二次函數(shù)的關(guān)系式;
若點(diǎn)D為該函數(shù)圖象的頂點(diǎn),且是直角三角形,求此二次函數(shù)的關(guān)系式.
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【題目】已知矩形PMON的邊OM、ON分別在x、y軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,3).將矩形PMON沿x軸正方向平移4個(gè)單位,得到矩形P1M1O1N1再將矩形P1M1O1N1繞著點(diǎn)O1旋轉(zhuǎn)90°得到矩形P2M2O2N2.在坐標(biāo)系中畫(huà)出矩形P2M2O2N2,并求出直線P1P2的解析式.
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【題目】如圖,男生樓在女生樓的左側(cè),兩樓高度均為90m,樓間距為AB,冬至日正午,太陽(yáng)光線與水平面所成的角為,女生樓在男生樓墻面上的影高為CA;春分日正午,太陽(yáng)光線與水平面所成的角為,女生樓在男生樓墻面上的影高為DA,已知.
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若男生樓共30層,層高均為3m,請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明多少層以下會(huì)受到擋光的影響?參考數(shù)據(jù):,,,,,
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【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(﹣1,0)和點(diǎn)C(2,3).
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如果此拋物線上下平移后過(guò)點(diǎn)(﹣2,﹣1),試確定平移的方向和平移的距離.
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