Question

【題目】如圖所示，內接于圓O，于D；

（1）如圖1，當AB為直徑，求證：；

（2）如圖2，當AB為非直徑的弦，連接OB，則（1）的結論是否成立？若成立請證明，不成立說明由；

（3）如圖3，在（2）的條件下，作于E，交CD于點F，連接ED，且，若，，求CF的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立；（3）

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ADC=90°，再根據(jù)三角形內角和定理求出即可；

（2）根據(jù)圓周角定理求出∠BOC=2∠A，求出∠OBC=90°-∠A和∠ACD=90°-∠A即可；

（3）分別延長AE、CD交⊙O于H、K，連接HK、CH、AK，在AD上取DG=BD，延長CG交AK于M，延長KO交⊙O于N，連接CN、AN，求出關于a的方程，再求出a即可．

（1）證明：∵AB為直徑，

∴，

∵于D，

∴，

∴，，

∴；

（2）成立，

證明：連接OC，

由圓周角定理得：，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（3）分別延長AE、CD交⊙O于H、K，連接HK、CH、AK，

∵，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵根據(jù)圓周角定理得：，

∴，

∴由三角形內角和定理得：，

∴，

∴，

同理，

∵，

∴，

在AD上取，延長CG交AK于M，則，

，

∴，

∴，

延長KO交⊙O于N，連接CN、AN，

則，

∴，

∵，

∴，

∴四邊形CGAN是平行四邊形，

∴，

作于T，

則T為CK的中點，

∵O為KN的中點，

∴，

∵，，

∴由勾股定理得：，

∴，

作直徑HS，連接KS，

∵，，

∴由勾股定理得：，

∴，

∴，

設，，

∴，，

∵，

∴，

解得：，

∴，

∴．