Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²-4x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，-5）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△ABP的周長最小．請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，根據(jù)（1）所得的函數(shù)解析式即可求得A、B、C的坐標(biāo)；在△ABP中，AB的長為定值，若三角形的周長最小，那么AP+BP的長最��；由于A、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，若連接BC，那么BC與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，可先求出直線BC的解析式，然后聯(lián)立拋物線的對稱軸方程，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）根據(jù)題意，得（2分）
解得（3分）
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-4x-5．（4分）

（2）令y=0，得二次函數(shù)y=x²-4x-5的圖象與x軸
的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)C（5，0）；（5分）
由于P是對稱軸x=2上一點(diǎn)，
連接AB，由于，
要使△ABP的周長最小，只要PA+PB最��；（6分）
由于點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸x=2對稱，連接BC交對稱軸于點(diǎn)P，則PA+PB=BP+PC=BC，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得PA+PB的最小值為BC；
因而BC與對稱軸x=2的交點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)；（8分）
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意可得
解得
所以直線BC的解析式為y=x-5；（9分）
因此直線BC與對稱軸x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，
解得
所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）．（10分）
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用，能夠正確的確定P點(diǎn)的位置時解答此題的關(guān)鍵．