Question

如圖，在直線上擺放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6；在△ABC中：∠C＝90^O，　　 ∠A＝30⁰，AB＝4；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90^O ,DG＝6，DE＝4，　 ∠EDG＝60⁰。解答下列問題：

（1）旋轉：將△ABC繞點C順時針方向旋轉90⁰，請你在圖中作出旋轉后的對應圖形

△A₁B₁C，并求出AB₁的長度；

（2）翻折：將△A₁B₁C沿過點B₁且與直線垂直的直線翻折，得到翻折后的對應圖形

△A₂B₁C₁，試判定四邊形A₂B₁DE的形狀？并說明理由；

（3）平移：將△A₂B₁C₁沿直線向右平移至△A₃B₂C₂，若設平移的距離為ｘ，△A₃B₂C₂與直角梯形重疊部分的面積為ｙ，當ｙ等于△ABC面積的一半時,ｘ的值是多少？

Answer 1

解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=，

∴AB₁=AC+C B₁=AC+CB=.

(2)四邊形A₂B₁DE為平行四邊形.理由如下：

∵∠EDG＝60°，∠A₂B₁C₁＝∠A₁B₁C＝∠ABC＝60°，∴A₂B₁∥DE

又A₂B₁＝A₁B₁＝AB＝4，DE＝4，∴A₂B₁＝DE,故結論成立.

（3）由題意可知：

 S_△ABC=，

①     當或時，ｙ＝0

此時重疊部分的面積不會等于△ABC的面積的一半

②當時，直角邊B₂C₂與等腰梯形的下底邊DG重疊的長度為DC₂=C₁C₂-DC₁=（ｘ－2），則ｙ＝,

   當ｙ= S_△ABC= 時，即 ，

解得（舍）或.

∴當時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.

③當時，△A₃B₂C₂完全與等腰梯形重疊，即

④當時,B₂G=B₂C₂-GC₂=2－(－8)=10-

則ｙ＝,

當ｙ= S_△ABC= 時，即 ，

解得,或(舍去).

∴當時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.

由以上討論知,當或時, 重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.