Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P、Q分別在BD，AD上，則AP+PQ的最小值為（ ）

A.2
B.
C.2
D.3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：
設(shè)BE=x，則DE=3x，
∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，
∴△ABE∽△DAE，
∴AE2=BEDE，即AE2=3x2 ，
∴AE= x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2 ， 即62=（ x）2+（3x）2 ， 解得x= ，
∴AE=3，DE=3 ，
如圖，設(shè)A點關(guān)于BD的對稱點為A′，連接A′D，PA′，
則A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，
∴△AA′D是等邊三角形，
∵PA=PA′，
∴當(dāng)A′、P、Q三點在一條線上時，A′P+PQ最小，
又垂線段最短可知當(dāng)PQ⊥AD時，A′P+PQ最小，
∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3 ，
故選D．

【考點精析】關(guān)于本題考查的矩形的性質(zhì)和軸對稱-最短路線問題，需要了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；已知起點結(jié)點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結(jié)點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結(jié)點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑才能得出正確答案．