Question

4．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與直線AB相交于A（-1，0）、B（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MC+MD的值最小時(shí)m的值；
（3）若P是該拋物線上位于直線AB上方的一動點(diǎn)，求△APB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得C′點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得M點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得DC′的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PE的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）如圖1，，
作C關(guān)于x=3的對稱點(diǎn)C′，C′點(diǎn)的坐標(biāo)（6，3）．
連接C′D，C′D交x=3于M點(diǎn)，
設(shè)C′D的解析式為y=kx+b，將C′，D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{5}}\\{b=\frac{21}{5}}\end{array}\right.$，
C′D的解析式為y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{21}{5}$，
當(dāng)x=3時(shí)，y=-$\frac{1}{5}$×3+$\frac{21}{5}$=$\frac{18}{5}$，
即M點(diǎn)坐標(biāo)（-$\frac{1}{5}$，$\frac{18}{5}$）；
（3）如圖2，，
AB的解析式為y=kx+b，將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
AB的解析式為y=x+1，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為E（m，m+1），P（m，-m²+2m+3），
PE═-m²+2m+3-（m+1）=-（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
S_△APB=$\frac{1}{2}$PE（x_B-x_A）
=$\frac{1}{2}$×[-（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]×[3-（-1）]
=2×[-（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，S_最大=2×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用軸對稱的性質(zhì)得出C′點(diǎn)是解題關(guān)鍵；利用三角形的面積得出二次函數(shù)得出二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．