Question

（2011•西藏）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，E是⊙O上的一點(diǎn)，并且
∠BEC=45°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5cm，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：（1）連接OC．欲證CD是⊙O的切線，只需證明OC⊥CD即可；
（2）S_陰影=S_{平行四邊形ABCD}-S_△BOC-S_扇形AOC．

解答：（1）證明：如圖所示：連接OC．
∵∠BEC=45°（已知），
∴∠BOC=2∠BEC=90°（在同圓中，同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），
∴OC⊥AB．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD（平行四邊形的對邊互相平行），
∴OC⊥CD．
∵點(diǎn)C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），
∴AB=CD（平行四邊形的對邊相等）．
又∵⊙O的半徑是5，
∴AB=10．
∵OC⊥AB，
∴S_{平行四邊形ABCD}=AB•OC=10×5=50，
S_△BOC=

1

2

OB•OC=

25

2

，
S_扇形AOC=

90π×52

360

=

25π

4

，
則S_陰影=S_{平行四邊形ABCD}-S_△BOC-S_扇形AOC=

150-25π

4

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定，扇形、三角形的面積，平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．