Question

已知如圖，在△ABC中，∠ACB=45°，D為AC上一點，且∠ADB=60°，AB切△BCD的外切圓于B，求證：AD=2DC．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：作AH⊥BD于H，連接OD，如圖，設(shè)DH=t，根據(jù)圓周角定理得∠BOD=2∠ACB=90°，則△OBD為等腰直角三角形，所以∠OBD=45°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OBA=90°，所以∠ABD=45°；在Rt△AHD中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系A(chǔ)D=2DH=2t，AH=

3

HD=

3

t，在RtABH中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=

2

AH=

6

t，然后證明△ABD∽△ACB，利用相似比可計算出AC=3t，則CD=AC-AD=t，所以AD=2DC．

解答：證明：作AH⊥BD于H，連接OD，如圖，設(shè)DH=t，
∵∠ACB=45°，
∴∠BOD=2∠ACB=90°，
∴△OBD為等腰直角三角形，
∴∠OBD=45°，
∵AB切△BCD的外切圓于B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠ABD=45°，
在Rt△AHD中，∵∠ADH=60°，
∴AD=2DH=2t，AH=

3

HD=

3

t，
在RtABH中，∵∠ABH=45°，
∴AB=

2

AH=

6

t，
∵∠ABD=∠ACB=45°，∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB：AC=AD：AB，即

6

t：AC=2t：

6

t，
∴AC=3t，
∴CD=AC-AD=3t-2t=t，
∴AD=2DC．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和相似三角形的判定與性質(zhì)．