Question

3．關(guān)于x的一元二次方程x²-3（m+1）x+3m+2=0．
（1）求證：無(wú)論m為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若函數(shù)y=x²-3（m+1）x+3m+2的最小值為0，求m的值；
（3）若拋物線y=x²-3（m+1）x+3m+2與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），且A、B到原點(diǎn)O的距離OA、OB滿足OA+OB=5，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算判別式的值，再進(jìn)行配方得到△=（3m+1）²，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得$\frac{4（3m+2）-9（m+1）^{2}}{4}$=0，然后解方程即可得到m的值；
（3）先利用公式法解方程x²-3（m+1）x+3m+2=0得x₁=3m+2，x₂=1，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題得到A（3m+2，0），B（1，0），根據(jù)題意得到|3m+2|+1=5，然后解絕對(duì)值方程即可得到m的值．

解答 （1）證明：△=9（m+1）²-4（3m+2）
=9m²+6m+1
=（3m+1）²，
∵（3m+1）²≥0，即△≥0，
∴無(wú)論m為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：$\frac{4（3m+2）-9（m+1）^{2}}{4}$=0，
解得m=-$\frac{1}{3}$；
（3）解：解方程x²-3（m+1）x+3m+2=0得x=$\frac{3（m+1）±（3m+1）}{2}$，
所以x₁=3m+2，x₂=1，
∵拋物線y=x²-3（m+1）x+3m+2與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴A（3m+2，0），B（1，0），
而OA+OB=5，
∴|3m+2|+1=5，
∴m=$\frac{2}{3}$或m=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了根的判別式的意義和二次函數(shù)的性質(zhì)．