Question

等腰三角形底邊和底邊上的高之和等于其外接圓直徑，則它的底邊和底邊上的高之比為（　　）

• A、1：2
• B、2：1
• C、1：4
• D、4：1

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心

專題：計(jì)算題

分析：如圖，AB=AC，AD⊥BC，⊙O為△ABC的外接圓，設(shè)圓的半徑為R，AD=x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，則AD垂直平分BC，根據(jù)垂徑定理的推理得到
圓心O在直線AD上，連接OB，則BC+x=2R，所以BD=R-

1

2

x，在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理得到（R-x）²+（R-

1

2

x）²=R²，解得R=

1

2

x（舍去）或R=

5

2

x，
則BC=2R-x=4x，然后計(jì)算BC：AD即可．

解答：解：如圖，AB=AC，AD⊥BC，⊙O為△ABC的外接圓，設(shè)圓的半徑為R，AD=x，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴圓心O在直線AD上，
連接OB，
∵底邊和底邊上的高之和等于其外接圓直徑，
∴BC+x=2R，
∴BD=R-

1

2

x，
在Rt△OBD中，∵OD²+BD²=OB²，
∴（R-x）²+（R-

1

2

x）²=R²，
整理得4R²-12Rx+5x²=0，
解得R=

1

2

x（舍去）或R=

5

2

x，
∴BC=2R-x=4x，
∴BC：AD=4：1．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的外接圓和外心：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理．