Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O為BC邊上一點(diǎn)，以O為圓心，OB為半徑作半圓與AB邊和BC邊分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，連接CD，且CD=CA，BD=，      

tan∠ADC=2．                                             

  （1）求證：CD是半⊙O的切線；                      

（2）求半⊙O的直徑；

（3）求AD的長.

Answer 1

（1）證明：聯(lián)結(jié)OD ∵CD=CA，OB=OD

∴∠CAD=∠A，∠ODB=∠OBD

∵∠ACB=90°，∴∠A+∠OBD=90°

∴∠CDA+∠ODB=90°

∴∠CDO=90°

∴CD⊥OD                              

∵點(diǎn)D在半⊙O上，∴CD是半⊙O的切線  

（2）聯(lián)結(jié)DE

∵BE是半⊙O的直徑，

∴∠EDB=90°  

∵tan∠ADC=2，∠CAD=∠A

∴tanA=2，∴tan∠EBD=

在△EDB中，∠EDB=90°，BD=，tan∠EBD=

∴BE=15，即半⊙O的直徑是15          

（3）在△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC=

設(shè)AC= x,則CD=x,BC=2 x

∵∠CBD+∠A=90°，∠ADC+∠CDE=90°

         ∠CDE=∠CBD   ∴△CDE∽△CBD

        ∴    ∴CE=0.5x

∵∴△BDE∽△BCA ,DE:AC=BD:BC

∴3:x=6:(15+0.5x),   ∴x=10

在△ABC中，∠ACB=90°AC=10,BC=20

∴AB=10,    ∴AD=4