Question

19．如圖，直線y=x+b和雙曲線$y=\frac{k}{x}$相交于點A、B，且點A坐標為（2，1）
（1）b=-1，k=2，
（2）P為x軸上一點，若以A、B、P為頂點的三角形是直角三角形，則點P的坐標為（3，0）、（-3，0）、（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，0）、（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，0）．

Answer 1

分析 （1）直接把A點坐標分別代入y=x+b和$y=\frac{k}{x}$中，即可求出b和k的值；
（2）聯(lián)立方程求得B的坐標，設P點坐標為（t，0），根據(jù)兩點間的距離公式求得PA²=1²+（t-2）²，PB²=2²+（t+1）²，AB²=3²+3²=18，然后分類討論：①∠APB=90°時，②∠PAB=90°時，③∠PBA=90°時，根據(jù)勾股定理得關于t的方程，再分別解方程求出t的值，最后寫出P點坐標．

解答 解：（1）把A（2，1）代入y=x+b得1=2+b，解得b=-1；
把A（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=2×1=2；
故答案為-1，2；
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴A（2，1），B（-1，-2），
設P點坐標為（t，0），
∴PA²=1²+（t-2）²，PB²=2²+（t+1）²，AB²=3²+3²=18，
當∠APB=90°時，則PA²+PB²=AB²，即1²+（t-2）²+2²+（t+1）²=18，解得t=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，此時P點坐標為（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，0）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，0）；
當∠PAB=90°時，則PA²+AB²=PB²，即1²+（t-2）²+18=2²+（t+1）²，解得t=3，此時P點坐標為（3，0）；
當∠PBA=90°時，則PB²+AB²=PA²，即2²+（t+1）²+18=1²+（t-2）²，解得t=-3，此時P點坐標為（-3，0）；
綜上所述，P點坐標為（3，0）、（-3，0）、（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，0）、（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，0）；
故答案為（3，0）、（-3，0）、（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，0）、（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，0）．

點評 考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式．也考查了勾股定理以及分類討論的思想．