Question

11．如圖，AD∥BC，AB=AD=DC，∠ABC=∠DCB，點(diǎn)E、F分別為DC、BC上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，EG∥BC交AF于G．探究線段DE、BF和GE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 延長CB，截取BM=DE，連接AM、EF，由平行線的性質(zhì)和已知條件得出∠D=∠ABM，由SAS證明△ABM≌△ADE，得出∠BAM=∠DAE，AM=AE，證出∠MAF=∠EAF，由SAS證明△AEF≌△AMF，得出EF=MF=DE+BF，∠AFE=∠AFM，由平行線的性質(zhì)證出∠EFA=∠EGF，得出EG=EF，即可得出結(jié)論．

解答 解：DE+BF=GE；理由如下：
延長CB，截取BM=DE，連接AM、EF，如圖所示：
∵AD∥BC，
∴∠DCB+∠D=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABM=∠D}&{\;}\\{BM=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴∠BAM=∠DAE，AM=AE，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠DAE+∠BAF=∠EAF，
∴∠BAF+∠BAM=∠EAF，
∴∠MAF=∠EAF，
在△AEF和△AMF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AM}&{\;}\\{∠EAF=∠MAF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AMF（SAS），
∴EF=MF=DE+BF，∠AFE=∠AFM，
∵EG∥BC，
∴∠EGF=∠AFM，
∴∠EFA=∠EGF，
∴GE=EF，
∴DE+BF=GE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，需要通過作輔助線兩次證明三角形全等才能得出結(jié)論．