Question

18．如圖，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與直線x=2交于第一象限的點(diǎn)P，△AOP的面積等于$\frac{1}{2}$．
（1）利用圖象，求當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y的取值范圍；
（2）設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上的任意不重合的兩點(diǎn)，M=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，N=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$試判斷M，N的大�。�并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件易求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后只需結(jié)合圖象就可解決問(wèn)題；
（2）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可求出反比例函數(shù)的解析式，從而得到y(tǒng)₁與x₁、y₂與x₂的關(guān)系，然后只需運(yùn)用作差法就可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）由題意可得OA=2，S_△AOP=$\frac{1}{2}$，
則$\frac{1}{2}$×2×AP=$\frac{1}{2}$，
解得AP=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$）．
結(jié)合圖象可得：
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y的取值范圍是y＞$\frac{1}{2}$；

（2）M＞N．
理由如下：∵點(diǎn)P（2，$\frac{1}{2}$）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=2×$\frac{1}{2}$=1，y=$\frac{1}{x}$．
∵P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$圖象上的任意不重合的兩點(diǎn)，
∴y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，y₁≠y₂．
∵M(jìn)=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，N=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$，
∴M-N=（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）-（$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$）
=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}}$
=（y₁-y₂）（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（y₁-y₂）²＞0，
∴M＞N．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，在解決問(wèn)題的過(guò)程中用到了數(shù)形結(jié)合和作差法等重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)熟練掌握．