Question

如圖，正方形ABCD的邊AB=8厘米，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P沿射線AB從點(diǎn)A開(kāi)始以2厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)E沿DB邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)B以

2

厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)．如果P、E同時(shí)出發(fā)，用t秒表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（0＜t＜8）．
（1）如圖1，當(dāng)0＜t＜4時(shí)，①求證：△APC∽△DEC；②判斷△PEC的形狀并說(shuō)明理由；
（2）若以P、C、E、B為頂點(diǎn)的四邊形的面積為25，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）①根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的

2

倍求出BD，再表示出AP、DE，然后根據(jù)兩組邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似證明；
②根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出

PC

CE

=

2

，相似三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠ACP=∠DCE，再求出∠PCE=∠ACD=45°，然后判斷出△PEC是等腰直角三角形；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)E到AB、BC的距離，再分①0＜t＜4時(shí)，點(diǎn)P在AB上，四邊形的面積=S_△PBE+S_△BCE，然后列出方程求解即可；②4＜t＜8時(shí)，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，四邊形的面積=S_△PBC+S_△BCE，然后列出方程求解即可．

解答：（1）①證明：∵AB=8cm，
∴AC=BD=

2

AB=8

2

cm，
∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)的速度為2厘米/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為

2

厘米/秒，
∴AP=2t，DE=

2

t，
∴

AP

DE

=

2t

2 t

=

2

，
∵

AC

CD

=

8 2

8

=

2

，
∴

AP

DE

=

AC

CD

，
又∵∠PAC=∠EDC=45°，
∴△APC∽△DEC；

②解：∵△APC∽△DEC，
∴

PC

CE

=

AP

DE

=

2

，∠ACP=∠DCE，
∴∠PCE=∠ACP+∠ACE=∠DCE+∠ACE=∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形；

（2）解：∵DE=

2

t，
∴BE=8

2

-

2

t，
∴點(diǎn)E到AB、BC的距離相等，都是（8

2

-

2

t）×

2

2

=8-t，
①0＜t＜4時(shí)，點(diǎn)P在AB上，
四邊形的面積=S_△PBE+S_△BCE，
=

1

2

（8-2t）×（8-t）+

1

2

×8×（8-t），
=（8-t）²，
∴（8-t）²=25，
解得t₁=3，t₂=13（舍去），
②4＜t＜8時(shí)，如圖，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，
四邊形的面積=S_△PBC+S_△BCE，
=

1

2

（2t-8）×8+

1

2

×8×（8-t），
=4t，
∴4t=25，
解得t=

25

4

，
綜上所述，t=3或

25

4

秒時(shí)，以P、C、E、B為頂點(diǎn)的四邊形的面積為25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，三角形的面積，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）要分情況討論．