Question

3．問題情境：已知矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點E是線段BC上的一個動點，連接AE，并延長交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折，點B落在點B′處，延長AB′，交直線CD于點M．
自主探究：
（1）當$\frac{BE}{CE}$=1時，得到圖1，求CF的長并求證：AM=FM．
（2）當點B′恰好落在對角線AC上時，得到圖2，此時CF的長為10，$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{5}$．當$\frac{BE}{CE}$=2時，借助備用圖直接寫出MF的長為$\frac{145}{18}$．
拓展運用：
（3）設變量BE為x，△ABE沿直線AE翻折后與矩形ABCD重合部分的面積為y，求y與x之間的關系式并直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出FC=AB即可得出答案；
②利用翻折變換的性質(zhì)得出∠BAF=∠MAF，進而得出AM=FM；
（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠BAE=∠MAF，進而根據(jù)AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；
（3）分兩種情況：①當0＜x≤6時；②當6＜x≤8時；利用三角形的面積和勾股定理探討得出答案即可．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥DC．
∴∠B=∠BCF．
∵∠AEB=∠FEC，
∴△ABE∽△FCE．…（1分）
∴$\frac{AB}{FC}$=$\frac{BE}{CE}$，
∵$\frac{BE}{CE}$=1，
∴$\frac{AB}{FC}$=$\frac{BE}{CE}$=1，AB=CF．
∵AB=6，
∴CF=6．
證明：∵AB∥DC，
∴∠BAF=∠AFC．
∵△ABE沿直線AE翻折得到△AB’E，
∴∠BAF=∠MAF，
∴∠MAF=∠AFC．
∴AM=FM．

（2）解：如圖2，

∵當點B′恰好落在對角線AC上時，
∴∠1=∠2，
∵AB∥FC，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AC=FC=10，
∵AB=6，BC=，8，
∴AC=FC=10，
∵AB∥FC，
∴△ABE∽FCE，
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{AB}{FC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；
如圖，

∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{AB}{CF}$=2，
∵AB=6，
∴CF=3，
∴DF=CD+CF=9，
由（1）知：AM=FM，
∴AM=FM=9-DM，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM²=（9-DM）²-8²，
解得：DM=$\frac{17}{18}$，則MA=$\frac{145}{18}$．
（3）解：分類討論如下：
①當0＜x≤6時，如圖：

∵BE=x，
∴y=S_△AB’E=S_△ABE=$\frac{1}{2}$BE•AB=$\frac{1}{2}$•x•6=3x．
②當6＜x≤8時，如圖：

∵△ABE沿直線AE翻折得到△AB′E
∴∠AEB=∠AEB′，BE=B′E，AB=AB′=6．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠AEB=∠EAD．
∴∠AEB′=∠EAD．
∴AH=EH．
∴AH+B′H=B′E=BE=x．
在Rt△AB′H中，由勾股定理得6²+（x-EH）²=EH²．
解得EH=$\frac{x}{2}$+$\frac{18}{x}$．
∴y=S_△AEH=$\frac{1}{2}$EH•AB=$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{x}{2}$+$\frac{18}{x}$）=$\frac{3x}{2}$+$\frac{54}{x}$．
綜上所述，y與x的函數(shù)關系為y=$\left\{\begin{array}{l}{3x（0＜x≤6）}\\{\frac{3}{2}x+\frac{54}{x}（6＜x≤8）}\end{array}\right.$．

點評 此題主要考查了幾何變換綜合題，翻折變換的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，熟練利用相關性質(zhì)和進行分類討論得出是解題關鍵．