Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，D為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊在△ABC外作等邊△BDE．若F為DE中點(diǎn)，則CF的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,二次函數(shù)的最值,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：過點(diǎn)D作DG⊥BC于G，過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，設(shè)等邊△BDE的邊長為x，解直角三角形BG，DG，再求出∠CBE=90°，然后根據(jù)梯形的中位線等于兩底和的一半求出FH，再求出CH，然后利用勾股定理列式表示出CF²，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出CF²的最小值，然后開方即可．

解答：解：如圖，過點(diǎn)D作DG⊥BC于G，過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，
設(shè)等邊△BDE的邊長為x，
∵∠ABC=30°，
∴BG=

3

2

x，DG=

1

2

x，
∵∠ABC=30°，△BDE是等邊三角形，
∴∠CBE=90°，
∵F為DE中點(diǎn)，
∴FH是梯形BEDG的中位線，
∴FH=

1

2

（x+

1

2

x）=

3

4

x，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，
∴AB=2×4=8，BC=4

3

，
又∵BH=

1

2

BG=

3

4

x，
∴CH=4

3

-

3

4

x，
在Rt△CFH中，CF²=CH²+FH²=（4

3

-

3

4

x）²+（

3

4

x）²=

3

4

x²-6x+48=

3

4

（x-4）²+36，
∵D為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴0＜x＜8，
∴當(dāng)x=4時(shí)，CF²有最小值36，
∴CF的最小值為

36

=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，二次函數(shù)的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，梯形的中位線等于兩底和的一半，熟記各性質(zhì)與定理并作輔助線構(gòu)造出以CF為斜邊的直角三角形是解題的關(guān)鍵．