Question

【題目】如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為2km和7km，且張、李二村莊相距13km．

（1）水泵應(yīng)建在什么地方，可使所用的水管最短？請?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出水泵站的位置．
（2）如果鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米1500元，為使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請求出最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為多少元？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）22500

【解析】

（1）作點(diǎn)A關(guān)于河邊所在直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，則點(diǎn)P為水泵站的位置；
（2）利用了軸對稱的性質(zhì)可得AP=A′P，在△AEB中利用勾股定理可以算出AE的長，再在△ACB中利用勾股定理算出A′B的長，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)即可求解．

（1）作A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，再連接A′B，A′B與l交于點(diǎn)P，P點(diǎn)就是水泵站的位置；

（2）過B點(diǎn)作l的垂線，過A′作l的平行線，
設(shè)這兩線交于點(diǎn)C，則∠C=90°．
又過A作AE⊥BC于E，
依題意BE=5，AB=13，
∴AE2=AB2-BE2=132-52=144．
∴AE=12．
由平移關(guān)系，A′C=AE=12，
△BA′C中，
∵BC=7+2=9，A′C=12，
∴A′B2=A′C2+BC2=92+122=225，
∴A′B=15．
∵PA=PA′，
∴PA+PB=A′B=15．
∴1500×15=22500（元）．
答：最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為22500元