Question

已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO．
（1）試直接寫出點D的坐標(biāo)；
（ 2 ）已知點B與點D在經(jīng)過原點的拋物線上，點P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連接OP．若以O(shè)、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，試求出點P的坐標(biāo)；
（3）試問在（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得
|TO-TB|的值最大？若存在，則求出點T點的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO．
∴D點的坐標(biāo)為（-1.5，2）；

（2）根據(jù)D點的坐標(biāo)為（-1.5，2）；B點的坐標(biāo)為（3，2），
以及圖象過（0，0），
∴代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax ²+bx+c，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為：y=x ²-x，
假設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為：x ²-x，
∴當(dāng)△DAO∽△PQO，
∴，
∴，
解得：x=0（不合題意舍去）或x=，
當(dāng)x=時，y=x ²-x=，
∴P點的坐標(biāo)為：（，），
當(dāng)△DAO∽△OQP，
∴，
∴，
解得：x=0（不合題意舍去）或x=4.5，
當(dāng)x=4.5時，y=x ²-x=6，
∴P點的坐標(biāo)為：（4.5，6），
故P點的坐標(biāo)為：（4.5，6）或（，）；

（3）因為TD=TB，所以求|TO-TB|的值最大轉(zhuǎn)化為求|TO-TD|的最大值，
T、D、O組成三角形，根據(jù)兩邊之差小于第3邊，即|TO-TD|＜OD，
只有T、D、O在同一條直線上的時候，才能取得最大值，最大值為OD的長度，
因此延長DO，與對稱軸的交點即為所求之T點，
將D（-1.5，2），O（0，0）代入y=kx+b，
k=-，
y=-x，
∴x=，
y=-1，
即T點的坐標(biāo)為（，-1），
故使得|TO-TB|的值最大T點的坐標(biāo)為（，-1）．
分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出D點的坐標(biāo)，AD=BM，D點的縱坐標(biāo)等于M點的縱坐標(biāo)；
（2）根據(jù)D點的坐標(biāo)為（-1.5，2）；B點的坐標(biāo)為（3，2），以及圖象過（0，0），得出二次函數(shù)解析式，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出P點的坐標(biāo)；
（3）因為TD=TB，所以求|TO-TB|的值最大轉(zhuǎn)化為求|TO-TD|的最大值，只有T、D、O在同一條直線上的時候，才能取得最大值，最大值為OD的長度，因此延長DO，與對稱軸的交點即為所求之T點．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的應(yīng)用等知識，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及等量代換思想的靈活應(yīng)用．