Question

16．如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，點A、B、C的坐標分別是A（-2，3）、B（-1，2）、C（-3，1），△ABC繞點O順時針旋轉90°后得到△A₁B₁C₁．
（1）在正方形網(wǎng)格中作出△A₁B₁C₁；
（2）在旋轉過程中，點C經(jīng)過的路徑$\widehat{C{C}_{1}}$的長度為$\frac{\sqrt{10}}{2}$π；（結果保留π）
（3）在坐標軸上找一點D，使DB+DC的值最小，則點D的坐標為（0，$\frac{7}{4}$）或（-$\frac{7}{3}$，0）．

Answer 1

分析 （1）利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質畫出點A、B、C的對應點A₁、B₁、C₁，從而得到△A₁B₁C₁；
（2）由于點C經(jīng)過的路徑是以O點為圓心，OC為半徑，圓心角為90度的弧，所以利用弧長公式可計算出點C經(jīng)過的路徑$\widehat{C{C}_{1}}$的長度；
（3）分類討論：作B點關于y軸的對稱點B′，連結CB′交y軸于D，如圖2，則B′（1，2），利用兩點之間線段最短可判斷此時DB+DB最小，利用待定系數(shù)法可求出直線CB′的解析式，然后求出直線與y軸的交點即可；作C點關于x軸的對稱點C′，連結C′B交x軸于D′，如圖2，則C′（-3，-1），利用待定系數(shù)法可求出直線C′B的解析式，然后求出直線與x軸的交點即可．

解答 解：（1）如圖1，△A₁B₁C₁為所作；

（2）OC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
所以點C經(jīng)過的路徑$\widehat{C{C}_{1}}$的長度=$\frac{90•π•\sqrt{10}}{180}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$π，
（3）作B點關于y軸的對稱點B′，連結CB′交y軸于D，如圖2，則B′（1，2），
∵DB+DC=DB′+DC=CB′，
∴此時DB+DB最小，
設直線CB′的解析式為y=mx+n，
把C（-3，1），B′（1，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
所以直線CB′的解析式為y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{7}{4}$，
當x=0時，y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{7}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴D（0，$\frac{7}{4}$）；
作C點關于x軸的對稱點C′，連結C′B交x軸于D′，如圖2，則C′（-3，-1），
∵D′B+D′C=D′B+D′C′=C′B，
∴此時D′B+D′B′最小，
設直線C′B的解析式為y=px+q，
把C′（-3，-1），B（-1，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3p+q=-1}\\{-p+q=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{3}{2}}\\{q=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
所以直線C′B的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{7}{2}$，
當y=0時，$\frac{3}{2}$x+$\frac{7}{2}$=0，解得x=-$\frac{7}{3}$，
∴D′（-$\frac{7}{3}$，0），
綜上所述，D點坐標為（（0，$\frac{7}{4}$）或（-$\frac{7}{3}$，0）．
故答案為$\frac{\sqrt{10}}{2}$π；（0，$\frac{7}{4}$）或（-$\frac{7}{3}$，0）．

點評 本題考查了作圖-旋轉變換：根據(jù)旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了弧長公式．