Question

16．現(xiàn)用棱長為2cm的小立方體按如圖所示規(guī)律搭建幾何體，圖中自上面下分別叫第一層、第二層、第三層…，其中第一層擺放1個小立方體，第二層擺放3個小立方體，第三層擺放6個小立方體…，那么搭建第1個小立方體，搭建第2個幾何體需要4個小立方體，搭建第3個幾何體需要10個小立方體…，按此規(guī)律繼續(xù)擺放．
（1）搭建第4個幾何體需要小立方體的個數(shù)為20；
（2）為了美觀，需將幾何體的所有露出部分（不包含底面）都噴涂油漆，且噴涂1cm²需用油漆0.2克．
①求噴涂第4個幾何體需要油漆多少克？
②如果要求從第1個幾何體開始，依此對第1個幾何體，第2個幾何體，第3和幾何體，…，第n個幾何體（其中n為正整數(shù)）進(jìn)行噴涂油漆，那么當(dāng)噴涂完第21個幾何體時，共用掉油漆多少克？
【參考公式：①1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$；
②1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，其中n為正整數(shù)】

Answer 1

分析 （1）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)第1層是1個；第2層是3個，即3=1+2；第3層是6個，即6=1+2+3；第4層1+2+3+4=10個，由此求得搭建第4個幾何體需要小立方體的個數(shù)為1+3+6+10=20個；
（2）①需要油漆也就是這個圖形底面積的5倍，底面的小正方形的個數(shù)是1+2+3+…+n，由此當(dāng)n=4，代入即可得到結(jié)果；
②由①的計算規(guī)律計算即可．

解答 解：（1）搭建第4個幾何體需要小立方體的個數(shù)為1+3+6+10=20個；
（2）①5×（1+2+3+4）×2²×0.2=40（克）．
答：噴涂第4個幾何體需要油漆40克；
②5×[1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+…+（1+2+3+4+…+19+21）]×2²×0.2
=5×[$\frac{1}{2}$×$\frac{21×（21+1）（21+2）}{3}$]×2²×0.2
=5×1771×4×0.2
=7048（克）．
答：當(dāng)噴涂完第21個幾何體時，共用掉油漆7048克．

點評 本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)圖形變化的規(guī)律，得出數(shù)字的運算規(guī)律解決問題．