Question

如圖，點(diǎn)A是過點(diǎn)F（0，2）且和y軸垂直的直線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．經(jīng)過點(diǎn)A作OA的垂線交y軸于點(diǎn)C，以A為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線y=a（x-h）²+2經(jīng)過點(diǎn)C，直線OA交拋物線于另一點(diǎn)B，直線AC交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)A、B均在第二象限且互不重合．
（1）求a的值；
（2）求證：BD⊥x軸；
（3）求證：經(jīng)過D、A、O三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)P在拋物線y=a（x-h）²+2上．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到A（h，2），再證明Rt△OAF∽R(shí)t△ACF，利用相似比可表示出CF=

1

2

h²，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

1

2

h²+2），然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得到ah²+2=

1

2

h²+2，再解方程易得a=

1

2

；
（2）證明△CAF∽△CDO，利用相似比可表示出OD=-

h2+4

h

，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（

h2+4

h

，0），再利用待定系數(shù)法得到直線OA的解析式為y=

2

h

x，于是可解方程組

y= 1 2 (x-h)2+2 y= 2 h x

確定B點(diǎn)坐標(biāo)為（

h2+4

h

，

2h2+8

h2

），然后根據(jù)點(diǎn)B和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)相同即可得到BD⊥x軸；
（3）利用待定系數(shù)法可得到過點(diǎn)A、D、O的拋物線解析式為y=-

1

2

x²+

h2+4

2h

x，再利用拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

h2+4

2h

，

h4+8h2+16

8h2

），然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可判斷點(diǎn)（

h2+4

2h

，

h4+8h2+16

8h2

）在拋物線y=a（x-h）²+2上．

解答：（1）解：∵A點(diǎn)拋物線y=a（x-h）²+2的頂點(diǎn)，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（h，2），
∵CA⊥OA，
∴∠CAO=90°，
∴∠AOC+∠ACO=90°，
∵AF⊥y軸，
∴∠AFO=90°，
∴∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠OAF=∠ACO，
∴Rt△OAF∽R(shí)t△ACF，
∴

AF

CF

=

OF

AF

，即

-h

CF

=

2

-h

，
∴CF=

1

2

h²，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

1

2

h²+2），
∵拋物線y=a（x-h）²+2經(jīng)過點(diǎn)C，
∴ah²+2=

1

2

h²+2，
∴a=

1

2

；
（2）證明：∵AF∥OD，
∴△CAF∽△CDO，
∴

AF

OD

=

CF

CO

，即

-h

OD

=

1 2 h2

1 2 h2+2

，
∴OD=-

h2+4

h

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（

h2+4

h

，0），
設(shè)直線OA的解析式為y=kx，
把A（h，2）代入得hk=2，解得k=

2

h

，
∴直線OA的解析式為y=

2

h

x，
解方程組

y= 1 2 (x-h)2+2 y= 2 h x

得

x=h y=2

或

x= h2+4 h y= 2h2+8 h2

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（

h2+4

h

，

2h2+8

h2

），
∵點(diǎn)B和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)相同，
∴BD⊥x軸；
（3）證明：設(shè)過點(diǎn)A、D、O的拋物線為y=mx（x-

h2+4

h

），
把A（h，2）代入得mh（h-

h2+4

h

）=2，解得m=-

1

2

，
所以過點(diǎn)A、D、O的拋物線解析式為y=-

1

2

x（x-

h2+4

h

）=-

1

2

x²+

h2+4

2h

x，
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

h2+4 2h

2×(- 1 2 )

=

h2+4

2h

，縱坐標(biāo)為

0-( h2+4 2h )2

4×(- 1 2 )

=

h4+8h2+16

8h2

，
即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

h2+4

2h

，

h4+8h2+16

8h2

），
∵當(dāng)x=

h2+4

2h

，y=

1

2

（x-h）²+2=

1

2

（

h2+4

2h

-h）²+2=

h4+8h2+16

8h2

，
∴過D、A、O三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)P在拋物線y=a（x-h）²+2上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法；熟練運(yùn)用相似比計(jì)算線段的長和代數(shù)式的變形；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．