【題目】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn),且EDF=45°.將DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到DCM.

(1)求證:EF=FM (2)當(dāng)AE=1時(shí),求EF的長(zhǎng).

【答案】1)證明詳見(jiàn)解析;(2

【解析】試題分析:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,DE=DM,∠EDM=90°,因?yàn)?/span>∠EDF=45°,所以∠FDM=∠EDM=45°,通過(guò)證明△DEF≌△DMF得到EF=MF;

2)設(shè)EF=MF=x,則BF=4-xBE=2,在Rt△EBF中,由勾股定理得到關(guān)于x的等式,解得x的值即可.

試題解析:(1)證明:∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM,

∴DE=DM,∠EDM=90°

∴∠EDF+∠FDM=90°,

∵∠EDF=45°

∴∠FDM=∠EDM=45°,

△DEF△DMF中,

DE=DM,∠EDF=∠MDFDF=DF,

∴△DEF≌△DMFSAS),

∴EF=MF;

2)設(shè)EF=MF=x, ∵AE=CM=1,且BC=3,

∴BM=BC+CM=3+1=4,

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x,

∵EB=AB-AE=3-1=2,

Rt△EBF中,由勾股定理得EB+BF=EF, 即2+4-x=x,

解得:x=, 則EF=

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