Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：①CF=BD；②CF⊥BD．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，線段CF與BD的上述關(guān)系是否還成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論即可（不必證明）．
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)A、F在直線BC的兩側(cè)，其它條件不變，線段CF與BD的上述關(guān)系是否還成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC=∠ACB=45°，正方形的性質(zhì)可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，再利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠ABD，然后求出∠BCF=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可；
（2）結(jié)論仍然成立；
（3）同（1）可證△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠ABD=135°，然后求出∠BCF=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可．

解答：（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，
∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴①CF=BD，
∠ACF=∠ABD，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∴②CF⊥BD；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段CF與BD的上述關(guān)系仍然成立；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)A、F在直線BC的兩側(cè)，線段CF與BD的上述關(guān)系仍然成立．
理由如下：同理可證△ABD≌△ACF，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，
∵∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°，
∴CF⊥BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)D的位置的變化，△ABD和△ACF始終全等是解題的關(guān)鍵．