Question

9．如圖，已知點(diǎn)A（-4，6）在拋物線y=ax²-2上，點(diǎn)B是拋物線y=ax²-2與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得QA+QB最小？若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先把A（-4，6）代入y=ax²-2可解得a=$\frac{1}{2}$，則拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2，再通過(guò)解方程$\frac{1}{2}$x²-2=0得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0），拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，則C（2，0），拋物線的對(duì)稱軸為y軸，連結(jié)AC交y軸于點(diǎn)Q，則QB=QC，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)QA+QB最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-x+2，然后計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可得到滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（-4，6）代入y=ax²-2得16a-2=6，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2，
當(dāng)y=0時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x²-2=0，解得x₁=-2，x₂=2，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0），拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；
（2）存在．
設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，則C（2，0），拋物線的對(duì)稱軸為y軸，
連結(jié)AC交y軸于點(diǎn)Q，則QB=QC，
因?yàn)锳Q+BQ=AQ+QC=AC，
所以此時(shí)QA+QB最小，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-4，6），C（2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=6}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直線AC的解析式為y=-x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+2=2，
所以滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了最短路徑問(wèn)題．